Дифференциальные уравнения
Определения
| Определение: |
| Соотношение вида [math]F(x, y(x), {y}'(x), ... , y^{(n)}(x)) = 0\:(1)[/math] называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ). |
| Определение: |
| Порядок наивысшей производной входящей в уравнение называется порядком уравнения. |
| Определение: |
| [math]F(x, y(x), {y}'(x)) = 0\:(2)\: - [/math] дифференциальное уравнение 1-го порядка |
| Определение: |
Решением дифференциального уравнения [math](2)[/math] называется функция [math]y(x) \in C(a,b):[/math]
[math]F(x, y(x), {y}'(x)) \equiv 0[/math] |
| Определение: |
| [math]\frac{dy}{dx}=f(x,y)\:(3) - [/math] уравнение в нормальной форме. |
| Определение: |
| Изоклиной ДУ[math](3)[/math] называется кривая определяемая равенством [math]f(x,y)=k[/math], где [math]k - const , tg\alpha = k[/math]. |
Задача Коши
| Определение: |
Задача нахождения решения дифференциального уравнения [math]\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y)[/math], которое удовлетворяет следующим условиям:
[math]\left\{\begin{matrix}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y) \\ y = y_{0}, \:\: \mathrm{if} \:\: x = x_{0}
\end{matrix}\right.[/math]
называется задачей Коши (начальной задачей) |
в некоторых случаях удается упростить решение задачи Коши наложив ограничения на [math]f(x,y):[/math]
[math]f(x,y) \in C(D), \:\: D = \left\{\begin{matrix}
\left | x-x_{0} \right | \leqslant a \\ \left | y-y_{0} \right | \leqslant b
\end{matrix}\right.[/math]
[math]\Rightarrow \:\: \left | f(x, y) \right | \leqslant M, \:\: M \gt 0[/math]
| Определение: |
условие Липшица:
[math]\left | f(x,\bar{y}) - f(x, \bar{\bar{y}}) \right | \leq l \left | \bar{\bar{y}} - \bar{y} \right |, \:\: \forall (x,\bar{y}), (x,\bar{\bar{y}}) \in D[/math] для некоторой константы [math]l \gt 0[/math] |
Очевидно, условие Липшица выполняется при условии [math]\left | \frac{\partial f}{\partial y} \right | \in C(D)[/math].
| Теорема (Пикар): |
Пусть [math]f(x,y)[/math] удовлетворяет условию Липшица и [math]f(x,y) \in C(D)[/math], тогда существует единственное решение задачи Коши
[math]y=y(x), \:\: y \in C(\left | x-x_{0} \right | \leqslant h)[/math], где [math]h = min(a, \frac{b}{M})[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Мамой клянусь.
Переформулируем задачу Коши следующим образом: [math]y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(x,y)dx[/math]
Будем строить решение задачи Коши итеративным методом: [math]y_{n}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(x,y_{n-1}(x))dx[/math]. Далее возможны два случая: 1) [math]y_{n}(x) \equiv y_{0} \:\: \Rightarrow \:\: f(x, y_{0}) = 0 \:\: \Rightarrow \:\: y_{0} -[/math] решение.
2) [math]f(x, y_{0}) \neq 0:[/math] предварительно докажем, что:
[math]a) \:\:\: y_{n}(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)[/math]
[math]b) \:\:\: \left | y_{n}(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h[/math]
[math]c) \:\:\: y_{n}(x) \Rightarrow y(x) \:\:[/math] (это типо равномерно сходится)
[math]d) \:\:\: y(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)[/math]
[math]e) \:\:\: \left | y(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h[/math]
|
| [math]\triangleleft[/math] |
