Свойства перечислимых языков. Теорема Успенского-Райса

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Свойства языков

Рассмотрим множество всех перечислимых языков [math] \mathrm {RE} [/math].

Определение:
Свойством языков (англ. property of languages) называется множество [math] A \subset \mathrm {RE} [/math].


Определение:
Свойство называется тривиальным (англ. trivial), если [math] A = \varnothing [/math] или [math] A = \mathrm {RE} [/math].


Определение:
Язык свойства (англ. language of property) [math] A [/math] — множество программ, языки которых обладают этим свойством: [math]L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p \mid L(p) \in A \rbrace [/math].


Определение:
Свойство [math] A [/math] называется разрешимым (англ. recursive), если [math]L(A) [/math] является разрешимым.

Примеры

Примеры свойств:

  1. Язык должен содержать слово hello.
  2. Язык должен содержать хотя бы одно простое число.

Псевдокод для разрешителя [math]L(A)[/math], где [math]A = \mathrm {RE}: [/math] 

[math]p_A(p_X)[/math]  // [math]p_X[/math] — полуразрешитель некоторого языка
  return true

Псевдокод для программы в общем случае, то есть для проверки того, что язык удовлетворяет свойству : 

[math]p_A(p_X)[/math] 
  return [math]L(p_X) \in A[/math]

Псевдокод полуразрешителя для языка свойства из первого примера: 

[math]p_A(p_X)[/math]  // [math]X[/math] — перечислимый язык в общем случае, поэтому [math]p_A[/math] — полуразрешитель (по теореме Райса-Шапиро)
  return [math]p_X[/math]('hello')

Теорема Успенского-Райса

Теорема:
Язык никакого нетривиального свойства [math]A[/math] не является разрешимым.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Приведём доказательство от противного.

Предположим, что [math]A[/math] разрешимо.

Пусть [math]p_\infty[/math] — всегда зацикливающийся алгоритм. Для упрощения предположим, что [math]p_\infty \in A[/math]. В противном случае доказательство аналогично.

Рассмотрим [math]p_a[/math] — программу, такую что [math]a \in \overline A[/math] (такое [math]a[/math] существует, т.к. А - нетривиально). Рассмотрим также произвольное перечислимое неразрешимое множество [math]X[/math]. Пусть [math]p_X(n)[/math] - полуразрешитель [math]X[/math].

Зафиксируем произвольное [math]n \in \mathbb{N}[/math] и построим следующую функцию [math]Vn(x) = \begin{cases} a(x), n \in X; \\ p_\infty(x), n \notin X; \\ \end{cases} [/math] 

function [math]V_n[/math](x):
  if [math]p_X[/math](n)
    return [math]p_a[/math](x)
  while true

Получили, что если [math]n \in X[/math], то [math]Vn(x) \in L(\overline S)[/math], а если [math]n \notin X[/math], то [math]Vn(x) \in L(S)[/math]. Таким образом, [math]n \in X \iff V_n(x) \in L(\overline S)[/math].

Так как [math]\overline S[/math] - разрешимо, то можно проверить для любого [math]a[/math], лежит ли оно в [math]\overline{S}[/math]. Но это тоже самое, что и проверка [math]n \in X[/math]. Тогда можно для каждого [math]n[/math] проверить лежит ли оно в [math]X[/math], а следовательно и построить разрешитель для [math]X[/math]. Так как [math]X[/math] - неразрешимо, получили противоречие.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Источники информации

  • Wikipedia — Rice's theorem
  • Rice, H. G. "Classes of Recursively Enumerable Sets and Their Decision Problems." Trans. Amer. Math. Soc. 74, 358-366, 1953.
  • Хопкрофт Д., Мотванн Р., Ульманн Д. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений страница 397.
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Свойства_перечислимых_языков._Теорема_Успенского-Райса&oldid=55981»