Материал из Викиконспекты
1 [math]A^*[/math] и его ограниченность.
Пусть оператор [math] A [/math] действует из [math] E [/math] в [math] F [/math], и функционал [math] \varphi [/math] принадлежит [math] F^* [/math].
Рассмотрим [math] f(x) = \varphi (Ax), | f(x) | \le \| \varphi \| \| A \| \| x \| [/math].
Получили новый функционал [math] f [/math], принадлежащий [math] E^* [/math]. [math] \varphi \mapsto \varphi A [/math].
[math] \varphi A = A^* (\varphi), A^* : F^* \to E^* [/math]. [math] A^* [/math] — сопряженный оператор к [math] A [/math].
Теорема: |
Если [math] A [/math] — линейный ограниченный оператор, то [math] \| A^* \| = \| A \| [/math]. |
2 Ортогональные дополнения [math]E[/math] и [math]E^*[/math].
Определение: |
Пусть [math] E [/math] — НП, [math] S \subset E^* [/math].
[math] S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} [/math] — ортогональное дополнение [math] S [/math].
Аналогично, если [math] T \subset E [/math], то [math] T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} [/math]. |
3 Ортогональное дополнение [math]R(A)[/math].
4 Ортогональное дополнение [math]R(A^*)[/math].
5 Арифметика компактных операторов.
Определение: |
Множество называется относительно компактным (предкомпактным), если его замыкание компактно |
Определение: |
Линейный ограниченный оператор [math] A : X \to Y [/math] называется компактным, если [math] A [/math] переводит любое ограниченное подмножество [math] X [/math] в относительно компактное множество из [math] Y [/math]. |
Утверждение: |
[math] A \in \mathcal{L} (X,Y), ~ B \in \mathcal{L} (Y,Z) [/math], [math] C = B \cdot A [/math] (произведение, суперпозиция). Тогда:
- Если [math] B [/math] — ограниченный, [math] A [/math] — компактный, то [math] C [/math] — компактный.
- Если [math] B [/math] — компактный, [math] A [/math] — ограниченный, то [math] C [/math] — компактный.
|
6 О компактности [math]A^*[/math], сепарабельность [math]R(A)[/math].
Утверждение: |
Пусть [math] A [/math] — компактный, тогда [math] R(A) [/math] — сепарабельно (то есть, в [math] R(A) [/math] существует счетное всюду плотное подмножество). |
7 Базис Шаудера, лемма о координатном пространстве.
Определение: |
Базисом Шаудера в банаховом пространстве [math]X[/math] называется множество его элементов [math]e_1, e_2 \dots e_n \dots[/math] такое, что у любого [math]x[/math] в [math]X[/math] существует единственное разложение [math]x = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \alpha_i e_i[/math]. |
8 Почти конечномерность компактного оператора.
9 Размерность [math]\operatorname{Ker}(I-A)[/math] компактного [math]A[/math].
10 Замкнутость [math]R(I-A)[/math] компактного [math]A[/math].
Теорема: |
Пусть [math]T = I - A[/math], [math]A[/math] компактен, тогда [math] R(T) [/math] замкнуто. |
11 Лемма о [math]\operatorname{Ker}(I-A)^n[/math] компактного [math]A[/math].
Утверждение: |
Пусть [math] M_n = \operatorname{Ker} ((I - A)^n), n \in \mathbb N[/math], [math] A [/math] — компактный оператор.
Тогда [math] \exists n_0: M_{n_0} = M_{n_0 + 1} [/math]. |
12 Условие справедливости равенства [math]R(I-A)=E[/math].
13 Альтернатива Фредгольма-Шаудера.
Теорема (альтернатива Фредгольма-Шаудера): |
Пусть [math]A:X \to X[/math] — компактный оператор и [math]T = A - \lambda I[/math]. Тогда возможно только две ситуации:
- [math]\operatorname{Ker} T = \{0\}[/math], тогда [math] y = Tx[/math] разрешимо для любого [math]y[/math]
- [math]\operatorname{Ker} T \ne \{0\}[/math], тогда [math] y = Tx[/math] разрешимо только для тех [math]y[/math], которые принадлежат [math](\operatorname{Ker} T^*)^\perp[/math]
|
14 Спектр компактного оператора.
Рассмотрим [math]A - \lambda I[/math].
- [math]\operatorname{Ker} (A - \lambda I) \ne \{0\}[/math], тогда оператор необратим, и [math]\lambda[/math] — собственное число, то есть [math]\lambda \in \sigma(A)[/math].
- [math]\operatorname{Ker} (A - \lambda I) = \{0\}[/math], тогда по альтернативе, оператор непрерывно обратим, то есть [math]\lambda \in \rho(A)[/math].
Таким образом, спектр состоит из собственных чисел, и, возможно, нуля. Теперь изучим мощность спектра:
Теорема: |
Спектр компактного оператора не более чем счётен и его предельной точкой может быть только 0. |
15 Определение самосопряженного оператора, неравенство для [math](a+ib)I-A[/math].
Определение: |
Оператор [math]\mathcal{A}[/math] называется самосопряжённым ([math]\mathcal{A} = \mathcal{A}^*[/math]), если [math]\forall x, y : \langle \mathcal{A}x, y \rangle = \langle x, \mathcal{A}y \rangle[/math] |
[math]\lambda \in \mathbb{C}[/math], [math]\lambda \mathcal{I} - \mathcal{A} = (\mu\mathcal{I} - \mathcal{A}) + i\nu\mathcal{I}[/math]
[math]\|(\lambda\mathcal{I}-\mathcal{A})x\| \ge |\nu|\cdot\|x\|[/math]
16 Вещественность спектра ограниченного самосопряженного оператора.
17 Критерий включения в резольвентное множество ограниченного самосопряженного оператора.
18 Критерий включения в спектр ограниченного самосопряженного оператора.
19 Локализация спектра с.с. оператора посредством чисел [math]m-[/math] и [math]m+[/math].
20 Спектральный радиус ограниченного самосопряженного оператора и его норма.
21 Теорема Гильберта-Шмидта.
22 Разложение резольвенты компактного самосопряженного оператора.
23 Локальная сходимость метода простой итерации.
24 Локальная сходимость метода Ньютона для операторных уравнений.
25 Проекторы Шаудера.
26 Теорема Шаудера о неподвижной точке.