Материал из Викиконспекты
Ортогональный и ортонормированный базис
Определение: |
Пусть [math]E[/math] - унитарное пространство. Базис [math]\{e_i\}_{i=1}^{n}[/math] называется ортогональным, если [math]\left \langle e_i;e_j \right \rangle=0[/math], где [math](i \ne j)[/math]. |
Определение: |
Базис [math]\{e_i\}_{i=1}^{n}[/math] называется ортонормированным (ОРТН), если [math]\left \langle e_i;e_j \right \rangle=\delta_{ij}[/math], то есть:
1) [math]e_i \bot e_j[/math], для [math](i \ne j)[/math].
2) [math] \Vert e_i \Vert=1 \ (i=1..n) [/math] |
Процесс ортогонализации набора векторов (Грам-Шмидт)
Утверждение: |
Пусть [math]\{x_i\}_{i=1}^{n} - [/math] ЛНЗ [math](x_i \ne 0)[/math]
1) [math]e_1=x_1[/math]
2) [math]e_2=x_2 + \alpha_1 e_1[/math]
и так далее
k) [math]e_k=x_k + \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_{k-1} e_{k-1}[/math] [math](*)[/math] |
[math]\triangleright[/math] |
На 2-ом шаге надо, чтобы [math]e_1 \bot e_2[/math], то есть
[math]0= \left \langle e_2;e_1 \right \rangle = \left \langle x_2;e_1 \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_1 \right \rangle [/math] [math] \Rightarrow \alpha_1 = \frac{- \left \langle x_2;e_1 \right \rangle }{ \left \langle e_1;e_1 \right \rangle } [/math]
На k-ом шаге уже есть [math]e_1, e_2...e_{k-1}[/math] [math]-[/math] попарно [math] \bot \ (k \leqslant m)[/math]. Надо, чтобы [math]e_k \bot e_i \ (i=1..k-1)[/math]
Рассмотрим [math] \left \langle (*);e_i \right \rangle [/math]
Необходимо, чтобы [math]0=\left \langle e_k;e_i \right \rangle = \left \langle x_k;e_i \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_i \right \rangle +...+ \alpha_i \left \langle e_i;e_i \right \rangle +...+ \alpha_{k-1} \left \langle e_{k-1};e_i \right \rangle [/math], где [math]\left \langle e_i;e_j \right \rangle =0, \ i \ne j [/math]
Тогда [math]\alpha_i = \frac{- \left \langle x_k;e_i \right \rangle }{ \left \langle e_i;e_i \right \rangle }[/math]
Лемма: |
Данный процесс не оборвется, то есть все [math]e_i \ne 0[/math] |
Доказательство: |
[math]\triangleright[/math] |
Докажем методом от противного.
Пусть [math]e_k=0[/math], тогда [math](*): \ 0=e_k=x_k + \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_{k-1}e_{k-1}[/math]
[math]\alpha_1 e_1=x_1, \ \alpha_2 e_2=[/math] ЛК[math] \{x_1, x_2\} [/math] и так далее [math]\alpha_{k-1} e_{k-1}=[/math] ЛК[math]\{x_1, x_2...x_{k-1}\} [/math]
Тогда [math]0_E=x_k+\sum\limits _{i=1}^{k-1} \beta_ix_i [/math]. Но [math]\{x_1...x_k\} - [/math] ЛНЗ набор, как поднабор ЛНЗ набора, среди коэффициентов разложения есть не нулевой (у [math]x_k[/math]), тогда приходим к противоречию, так как набор коэффициентов не тривиальный, а вектора ЛНЗ.
Значит, предположение не верно и [math]e_k \ne 0[/math], то есть процесс ортогонализации не оборвется пока набор будет ЛНЗ. | [math]\triangleleft[/math] |
[math]\{x_i\}_{i=1}^{n} \rightarrow \{e_i\}_{i=1}^{n}[/math], таким образом получаем ортогональный набор векторов. |
[math]\triangleleft[/math] |
Лемма: |
[math]\{x_i\}_{i=1}^{k-1} - [/math] ЛНЗ, [math]\{x_i\}_{i=1}^{k} - [/math] ЛЗ, тогда [math]e_k=0[/math] |
Доказательство: |
[math]\triangleright[/math] |
Доказательство очевидно из леммы, доказанной выше. |
[math]\triangleleft[/math] |
Свойства
Лемма: |
[math] \Vert e_k \Vert \leqslant \Vert x_k \Vert [/math] |
Доказательство: |
[math]\triangleright[/math] |
Рассмотрим [math] \left \langle (*);e_k \right \rangle [/math]
[math] \left \langle e_k;e_k \right \rangle = \left \langle x_k;e_k \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_k \right \rangle +...+ \alpha_{k-1} \left \langle e_{k-1};e_k \right \rangle [/math], но [math] \left \langle e_i;e_k \right \rangle=0 \ (i=1..k-1)[/math]
[math] \Rightarrow \Vert e_k \Vert^2= \left \langle x_k;e_k \right \rangle [/math] по неравенству Шварца [math] \Rightarrow \Vert e_k \Vert^2 \leqslant \Vert x_k \Vert \cdot \Vert e_k \Vert [/math], так как [math]\Vert e_k \Vert \ne 0 \Rightarrow \Vert e_k \Vert \leqslant \Vert x_k \Vert [/math] |
[math]\triangleleft[/math] |
Теорема: |
В любом конечномерном унитарном пространстве существует ортогональный и даже ортонормированный базис. |
Доказательство: |
[math]\triangleright[/math] |
Ортогональный базис получается процессом ортогонализации Грама-Шмидта. Из ортогонального по определению легко получить ортонормированный. |
[math]\triangleleft[/math] |
Лемма: |
[math] \forall x,y \in E [/math] в ОРТН базисе [math]\{e_i\}_{i=1}^{n} \Rightarrow \left \langle x;y \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \bar \eta^k [/math] |
Доказательство: |
[math]\triangleright[/math] |
[math] \left \langle x;y \right \rangle=\left \langle \sum\limits_{i=1}^n \xi^i e_i; \sum\limits_{k=1}^n \eta^k e_k \right \rangle= \sum\limits_{i,k=1}^n \xi^i \bar \eta^k \left \langle e_i;e_k \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \bar \eta^k [/math] |
[math]\triangleleft[/math] |
Лемма: |
Если для [math] \forall x,y \in E [/math] верно, что [math] \left \langle x;y \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^n \xi^i \bar \eta^k [/math], то соответствующий базис [math]\{e_i\}_{i=1}^{n} - [/math] ОРТН. |
Доказательство: |
[math]\triangleright[/math] |
Доказательство предыдущей леммы в обратную сторону, то есть получаем, что [math] \left \langle e_i;e_j \right \rangle= \delta^{ik} [/math], тогда базис ОРТН по определению. |
[math]\triangleleft[/math] |