Перечислимые языки

Определение:

Полуразрешимый язык — язык, для которого существует программа [math]p[/math] такая, что [math]\forall x \in L \Leftrightarrow p(x)=1[/math].

Определение:

Перечислимый язык — язык, для которого существует программа [math]g[/math] такая, что [math]g(i) = x_i, L = \{x_1, x_2, .., x_n, ..\}[/math].

Определение:

Пусть имеется некоторая программа [math]p[/math], которая может либо завершиться за конечное время и что-то вернуть, либо зависнуть. Тогда запуск программы [math]p[/math] с тайм-лимитом [math]TL[/math] будем обозначать как [math]p|_{TL}[/math] и иметь в виду следующее: если за [math]TL[/math] операций программа [math]p[/math] корректно завершилась и что-то вернула, то [math]p|_{TL}[/math] вернет то же самое; если же за [math]TL[/math] операций программа [math]p[/math] не успела завершиться, то [math]p|_{TL}[/math] вернет [math]\bot[/math] (символ зависания).

Теорема:

[math]L[/math] — перечислимый [math]\Leftrightarrow L[/math] — полуразрешимый.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]L[/math] — перечислимый язык. Докажем, что он полуразрешим, приведя соответствующую программу. [math]p(x):[/math] for [math] i = 1 ~ .. ~ \infty[/math] if [math] g(i) == x[/math] return [math] 1[/math] Пусть [math]L[/math] — полуразрешимый язык. Докажем, что он перечислим, приведя соответствующую программу. [math]g_0(i):[/math] [math]cnt = 0[/math] for [math] k = 1 ~ .. ~ \infty[/math] for [math] x \in \{x_1, x_2, .., x_k\}[/math] if [math] p|_k(x) == 1[/math] [math]cnt[/math]++ if [math] cnt == i[/math] return [math] x[/math] [math]g(i):[/math] [math]U = \emptyset[/math] for [math] j = 1 ~ .. ~ \infty[/math] [math]x = g_0(j)[/math] if [math] x \notin U[/math] [math]cnt[/math]++ if [math] cnt == i[/math] return [math] x[/math] [math]U.insert(x)[/math] На каждой итерации цикла программы [math]g[/math] в множестве [math]U[/math] хранятся все выведенные на данный момент слова языка [math]L[/math]. Приведённые программы доказывают эквивалентность определений.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Любой разрешимый язык [math]L[/math] является перечислимым.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Любой разрешимый язык [math]L[/math] является полуразрешимым. Так как любой полуразрешимый язык является перечислимым, то разрешимый язык [math]L[/math] является перечислимым.

[math]\triangleleft[/math]

Литература

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. -- М.: МЦНМО, 1999