Предельный переход в классе измеримых функций
TODO: ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ
1
Утверждение: |
Пусть , , — измеримо на ,
Тогда тоже измеримо на . |
Выведем это из стандартного факта анализа.
Обозначим Осталось показать, что и не выводят за рамки класса измеримых:Аналогично . Значит, — измерима по Лебегу |
2
Введём понятие «свойство выполняется почти всюду». Именно на базе этого термина теория приобретает свои характерные черты.
Определение: |
Пусть | , — свойство. Если —нульмерно, то выполняется почти всюду на
Пример. Функция Дирихле
на .
Тогда
почти всюду на .Это понятие понадобится нам для того, чтобы определить сходимость функции почти всюду.
Определение: |
Есть функции | на , . Если , то почти всюду на .
Для того, чтобы придать более удобную запись
Считаем, что эти функции измеримы
это множество измеримо.Легко проверить, что оно совпадает с множеством тех точек из
, .Достаточно вспомнить отрицание предела.
точка
левое множество :Значит,
Аналогично в обратную сторону.
Множество точек, в которых не сходится к
, записывается так— нульмерно, если сходится почти всюду.
Утверждение: |
— измеримо, почти всюду на . Тогда — измерима |
Все измерения проводим для -конечных полных мер. почти всюду на и — измеримо.. — измеримо, всюду на . , Первое — часть нульмерного, значит, и само — нульмерно. А второе — измеримо. Значит, — измеримо как объединение измеримых |