Двудольные графы и раскраска в 2 цвета

Определение:

Неориентированный граф [math]G = (W,E)[/math] называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на две части [math] U \cup V = W , \mid U\mid \gt 0, \mid V\mid \gt 0[/math], так, что ни одна вершина в [math]U[/math] не соединена с вершинами в [math]U[/math] и ни одна вершина в [math]V[/math] не соединена с вершинами в [math]V[/math].

Теорема Кенига

Теорема (Кёниг):

Граф [math] G [/math] с конечным числом вершин является двудольным [math] \iff [/math] когда все циклы в графе [math] G [/math] имеют чётную длину.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Достаточность. Пример двудольного графа Рассмотрим двудольный граф. Начнем цикл в доли [math] U [/math]. Нужно пройти по четному числу ребер, чтобы подняться в [math] U [/math] снова. Следовательно, при замыкании цикла число ребер будет четным. Очевидно, что в двудольном графе нет петель. Необходимость. Пусть ненулевой граф [math] G [/math] связен и не имеет циклов нечетной длины. Выберем произвольно вершину [math] u [/math] и разобьем множество всех вершин на на два непересекающихся множества [math] U [/math] и [math] V [/math] так, чтобы в [math] U [/math] лежали вершины [math] v_0 [/math], такие что кратчайшая цепь [math](u, v_0)[/math] была чётной длины, а в [math] V [/math] соответственно вершины [math]v_1[/math], для которых длина цепи [math](u, v_1)[/math] - нечётная. При этом [math] u \in U [/math] В графе [math] G [/math] нет ребер [math]ab[/math], таких что [math]a, b [/math] лежат одновременно в [math] U [/math] и [math]V[/math]. Поведем доказательство от противного. Пусть [math]a, b \in V_0 [/math]. Зададим [math] P_0 [/math] - кратчайшая [math] (u, a) [/math] цепь, а [math] P_1 [/math]- кратчайшая [math] (u, b) [/math] цепь. Обе цепи четной длины. Пусть [math] u [/math] - последняя вершина цепи [math] P_0 [/math], принадлежащая [math] P_1 [/math]. Тогда подцепи от [math] u [/math] до [math] v_0 [/math] в [math] P_0 и P_1[/math] имеют одинаковую длину (иначе бы противоречили выбору [math] P_0 [/math] и [math] P_1 [/math]). А так как подцепи одинаковы, то чётность у них одинакова, а значит в сумме с ребром [math] ab [/math] они образуют цикл нечётной длины, что невозможно.

[math]\triangleleft[/math]

Раскраска в 2 цвета

Так как множество вершин двудольного графа можно разделить на 2 независимых подмножества так, что ни одна из вершин ни в одном из этих подмножеств не является смежной к вершине из этого же подмножества [math]\Rightarrow[/math] граф [math]G = (W,E)[/math] - 2 - раскрашиваем. [math]\chi(G) = 2[/math].

Так как граф является двудольным тогда и только тогда, когда все циклы четны, определить двудольность можно за один проход в глубину. На каждом шаге обхода в глубину метим вершину. Допустим мы пошли в первую вершину - добавляем ее в множество [math] U [/math]. То есть ставим метку [math] 1 [/math]. Затем просматриваем все смежные вершины и если не помечена вершина, то метим ее как [math] 2 [/math] (то есть добавляем во множество [math] V [/math] ) и рекурсивно переходим в нее. Если же она мечена и у нее такая же метка как у нашей - то все граф не двудольный.

Источники

1. Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. - Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. ISBN 978-5-8114-1068-2
2. Харари Ф. - Теория графов. ISBN 978-5-397-00622-4

См. также

• Графы. Раскраски и укладки.