Материал из Викиконспекты
| Лемма: |
Если [math]\Sigma_i = \Sigma_{i+1}[/math], то [math]\Pi_i = \Pi_{i+1}[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
Так как [math]\Sigma_i = \Sigma_{i+1}[/math], то любой язык [math]L \in \Sigma_{i+1}[/math] входит в сложностный класс [math]\Sigma_i[/math]. Очевидно, что если язык [math]L \in \Sigma_i[/math], то [math]\overline{L} \in \Pi_i[/math].
Тогда для языка [math]L[/math] выполнено [math]\overline{L} \in \Pi_{i+1} \Leftrightarrow L \in \Sigma_{i+1} \Leftrightarrow L \in \Sigma_i \Leftrightarrow \overline{L} \in \Pi_i[/math]. То есть [math]\Pi_i = \Pi_{i+1}[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Теорема о коллапсе полиномиальной иерархии при совпадении [math]\Sigma_i[/math] и [math]\Sigma_{i+1}[/math]
| Теорема: |
Если существует [math]i \colon \Sigma_i = \Sigma_{i+1}[/math], то [math]\Sigma_i = PH[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Для доказательства теоремы достаточно показать, что если такое [math]i[/math] существует, то [math]\forall j \gt i[/math] верно, что [math]\Sigma_i = \Sigma_j[/math].
Докажем по индукции.
База. [math]\Sigma_i = \Sigma_{i+1}[/math] из условия.
Индукционный переход. Докажем, что если [math]\Sigma_n = \Sigma_{n+1}[/math], то [math]\Sigma_n = \Sigma_{n+2}[/math].
Рассмотрим язык [math]L \in \Sigma_{n+2}[/math]. По определению сложностного класса [math]\Sigma_{n+2}[/math] слово [math]x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{n+2} R(x, y_1 \ldots y_{n+2})[/math]. Обозначим [math]\forall y_2 \ldots Q y_{n+2} R(x, y_1 \ldots y_{n+2}) = f(x, y_1)[/math].
Тогда получим язык [math]L_f = \{\langle x, y_1\rangle \colon f(x, y_1) = 1\}[/math].
Тогда [math]L_f \in \Pi_{n+1}[/math], и из вышедоказанной леммы следует, что [math]L_f \in \Pi_n[/math].
Из определения сложностного класса [math]\Pi_n\;\exists R_1 \colon \langle x, y_1 \rangle \in L_f \Leftrightarrow \forall y_2 \exists y_3 \ldots Q y_{n+1} R_1(\langle x, y_1\rangle, y_2 \ldots y_{n+1})[/math], где переменные [math]x[/math] и [math]y_1[/math] представляют собой одну переменную. Получается, что [math]x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{n+1} R_1(\langle x, y_1\rangle, y_2 \ldots y_{n+1})[/math]. То есть язык [math]L \in \Sigma_{n+1}[/math]. Отсюда следует, что [math]\Sigma_{n+1} = \Sigma_{n+2}[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Теорема о коллапсе полиномиальной иерархии при совпадении [math]\Sigma_i[/math] и [math]\Pi_i[/math]
| Теорема: |
Если существует [math]i\colon \Sigma_i = \Pi_i[/math], то [math]\Sigma_i = PH[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Для доказательства теоремы достаточно показать, что [math]\Sigma_i = \Sigma_{i+1}[/math]. Тогда по предыдущей теореме [math]\Sigma_i = PH[/math].
Рассмотрим язык [math]L \in \Sigma_{i+1}[/math]. Тогда слово [math]x \in L \Leftrightarrow \exists y_1 \forall y_2 \ldots Q y_{i+1} R(x, y_1 \ldots y_{i+1})[/math]. Обозначим [math]\forall y_2 \exists y_3 \ldots Q y_{i+1} R(x, y_1 \ldots y_{i+1}) = f(x, y_1)[/math]. Получим язык [math]L_f = \{ \langle x, y_1 \rangle \colon f(x, y_1) = 1\}[/math].
Тогда [math]L_f \in \Pi_i[/math], и из условия теоремы [math]L_f \in \Sigma_i[/math].
По определению сложностного класса [math]\Sigma_i \; \exists R_1 \; \langle x, y_1 \rangle \in L_f \Leftrightarrow \exists y_2 \forall y_3 \ldots Q y_{i+1} R_1(\langle x, y_1 \rangle, y_2 \ldots y_{i+1})[/math]. Тогда
[math]x \in L \Leftrightarrow \exists \langle y_1, y_2 \rangle \forall y_3 \ldots Q y_{i+1} R_1(x, \langle y_1, y_2\rangle \ldots y_{i+1})[/math]. Значит, [math]L \in \Sigma_i[/math]. То есть [math]\Sigma_i = \Sigma_{i+1}[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
