Сложностные классы. Вычисления с оракулом

В начале 1960-х годов, в связи с началом широкого использования вычислительной техники для решения практических задач, возник вопрос о границах практической применимости данного алгоритма решения задачи в смысле ограничений на ее размерность. Какие задачи могут быть решены на ЭВМ за реальное время?

Ответ на этот вопрос был дан в работах Кобмена (Alan Cobham, 1964), и Эдмнодса (Jack Edmonds, 1965), где были введены сложностные классы задач. К ним относятся классы P, NP и т.д.

Для начала введем понятия [math]DTIME[/math] и [math]DSPACE[/math], аналогичным образом определяются классы [math]NSPACE[/math] и [math]NTIME[/math] (префикс [math]D[/math] соответствует детерминизму, а [math]N[/math] — недетерминизму).

Определение:

[math]DTIME(f(n)) = \{ L \mid \exists [/math] программа [math]p : L(p)=L,[/math] для любого [math]x[/math], такого что [math]|x| = n[/math], где n — длина входа и [math]Time(p,x) = O( f(n)) \}[/math].

Определение:

[math]DSPACE(f(n)) = \{ L \mid \exists [/math] программа [math]p : L(p)=L,[/math] для любого [math]x[/math], такого что [math]|x| = n[/math], где n — длина входа и [math]Space(p,x) = O(f(n)) \}[/math].

Через понятия классов [math]DSPACE[/math], [math]DTIME[/math], [math]NSPACE[/math] и [math]NTIME[/math] будет дано определение многим сложностным классам, в том числе классов P и NP.

Вычисление с оракулом

Сложностный класс задач, решаемых алгоритмом из класса [math]A[/math] с оракулом для языка [math]B[/math] обозначают [math]A^B[/math]. Так же [math]A[/math] называют сложностным классом с доступом к оракулу [math]B[/math]. Если [math]B[/math] — это множество языков, то [math]A^B =\bigcup\limits_{D \in B}A^D[/math], где [math]D[/math] — язык из [math]B[/math].