Гомоморфизм групп

Определение:

Отображение [math]\phi:G_1 \rightarrow G_2[/math] группы [math]\langle G_1, \cdot\rangle[/math] в группу [math]\langle G_2,\times\rangle[/math] называется гомоморфизмом, если оно сохраняет групповую структуру: [math]\forall a,b\in G_1 : \phi(a\cdot b) = \phi(a)\times \phi(b)[/math]

Свойства гомоморфизмов

Утверждение:

Гомоморфизм переводит нейтральный элемент в нейтральный ([math]e_1\in G_1[/math] в [math]e_2 \in G_2[/math]).

[math]\triangleright[/math]

По определению гомоморфизма имеем: [math]\phi(e_1)\times\phi(e_1) = \phi(e_1\cdot e_1)=\phi(e_1)[/math]. Следовательно, [math]\phi(e_1) = e_2[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Гомоморфизм переводит обратный элемент в обратный: [math]\phi(x)^{-1}=\phi(x^{-1})[/math]

[math]\triangleright[/math]

[math]\phi(x)\times\phi(x^{-1})=\phi(x\cdot x^{-1})=e_2=\phi(x^{-1}\cdot x)=\phi(x^{-1})\times\phi(x)[/math] что вместе с единственностью обратного к [math]\phi(x)[/math] элемента означает [math]\phi(x)^{-1}=\phi(x^{-1})[/math].

[math]\triangleleft[/math]