|
[math]\mathrm{RP_{weak}} \subset \mathrm{RP}\colon[/math]
Рассмотрим язык [math]L \in \mathrm{RP_{weak}}[/math]. Этому языку соответсвует программа [math]m_{\mathrm{RP_{weak}}}[/math]. Для доказательства утверждения необходимо написать программу [math]m_{\mathrm{RP}}[/math], которая будет удолетворять ограничениям сложностного класса [math]\mathrm{RP}[/math].
[math]m_{\mathrm{RP}}(x)[/math]
for [math]i = 1 \ldots k[/math] // [math]k[/math] будет определено позже
if [math]m_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)[/math]
then return [math]1[/math]
return [math]0[/math]
Если слово [math]x \notin L[/math], то [math]m_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)[/math] всегда возвращает [math]0[/math]. Тогда [math]P(m_{\mathrm{RP}}(x) = 0) = 1[/math], при [math]x \notin L[/math]. Если хотя бы один вызов программы [math]m_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)[/math] вернёт [math]1[/math], то слово [math]x \in L[/math]. Вероятность ошибки программы [math]m_{\mathrm{RP_{weak}}}[/math] равна [math]1-\frac{1}{q(|x|)}[/math], то есть вероятность ошибки программы [math]m_{\mathrm{RP}}[/math] равна [math](1-\frac{1}{q(|x|)})^k[/math]. [math]k[/math] надо выбрать таким, что вероятность ошибки программы [math]m_{\mathrm{RP}}[/math] при [math]x \in L[/math] была меньше [math]\frac {1}{2}[/math]. Получается неравенство [math](1-\frac{1}{q(|x|)})^k \lt \frac{1}{2}[/math]. Логарифмируя, получаем: [math]k\ ln(1-\frac{1}{q(|x|)}) \lt ln(\frac{1}{2})[/math]. Разложив логарифм в ряд Тейлора, получаем [math]k(-\frac{1}{q(|x|)} + o(\frac{1}{q(|x|)})) \lt -ln(2)[/math]. Отсюда [math]k \gt q(|x|)ln(2)[/math].
[math]\mathrm{RP} \subset \mathrm{RP_{weak}}\colon[/math]
Доказательство аналогично предыдущему пункту.
[math]m_{\mathrm{RP_{weak}}}(x)[/math]
for [math]i = 1 \ldots k[/math] // [math]k[/math] будет определено позже
if [math]m_{\mathrm{RP}}(x)[/math]
then return [math]1[/math]
return [math]0[/math]
Но здесь [math]k[/math] выбирается так, чтобы выполнялось неравенство [math](\frac{1}{2})^k \lt \frac{1}{q(|x|)}[/math]. Из него получается, что [math]k \gt log_2(q(|x|))[/math].
[math]\mathrm{RP} \subset \mathrm{RP_{strong}}\colon[/math]
Напишем программу [math]m_{\mathrm{RP_{strong}}}[/math], удолетворяющую ограничениям сложностного класса [math]\mathrm{RP_{strong}}[/math].
[math]m_{\mathrm{RP_{strong}}}(x)[/math]
for [math]i = 1 \ldots k[/math] // [math]k[/math] будет определено позже
if [math]m_{\mathrm{RP}}(x)[/math]
then return [math]1[/math]
return [math]0[/math]
В этом случае [math]k[/math] необходимо выбрать таким, что должно выполняться неравенство [math](\frac{1}{2})^k \lt 1 - \frac{1}{2^{q(|x|)}} \Leftrightarrow k \gt -log_{2}(1-\frac{1}{2^{q(|x|)}})[/math]. Разложив в ряд Тейлора получаем, что [math]-log_{2}(1-\frac{1}{2^{q(|x|)}}) = \frac{2^{-q(|x|)}}{ln(2)} + o(2^{-q(|x|)}) = \frac{(1+q(|x|)+o(q(|x|)))^{ln(\frac{1}{2})}}{ln(2)} \lt \frac{1+q(|x|)}{ln(2)}[/math]. То есть [math]k[/math] надо взять больше, чем [math]\frac{1+q(|x|)}{ln(2)}[/math].
[math]\mathrm{RP_{strong}} \subset \mathrm{RP}\colon[/math]
Для доказательства утверждения необходимо написать программу [math]m_{\mathrm{RP}}[/math], которая будет удолетворять ограничениям сложностного класса [math]\mathrm{RP}[/math].
[math]m_{\mathrm{RP}}(x)[/math]
for [math]i = 1 \ldots k[/math] // [math]k[/math] будет определено позже
if [math]m_{\mathrm{RP_{strong}}}(x)[/math]
then return [math]1[/math]
return [math]0[/math]
[math]k[/math] надо выбрать таким, чтобы выполнялось неравенство [math](\frac{1}{2^{q(|x|)}})^k \lt \frac{1}{2}[/math]. Отсюда [math]k \gt \frac{1}{q(|x|)}[/math]. | 