Задача многокритериальной оптимизации. Multiobjectivization

Введение

В данной статье рассматривается многокритериальная оптимизация, её задача. Рассматривается понятие Парето-фронт - множество Парето оптимальных значений. Также рассматривается задача коммивояжера и предлагается её решение с помощью генетического алгоритма с "жадной" стратегией.

Задача многокритериальной оптимизации

Постановка задачи

Определение:

Задача многокритериальной оптимизации: [math]maximize \{f(x) = (f_1(x),\dots,f_K(x))\}[/math] [math] x \in X[/math] где [math] f(x) : X \rightarrow R^K[/math] – целевая вектор-функция, где [math]K \ge 2[/math]

Так как не существует единого решение, которое было бы максимальным для всех целевых функций, вместо него можно искать множество [math]X^* \subseteq X [/math] множество Парето оптимальных значений.

Множество Парето оптимальных значений

Определение:

Множество Парето оптимальных значений: [math]\forall x^* \in X^* \not\exists x \in X [/math]:[math]x \succ x^*[/math], где [math]x \succ x^* \Leftrightarrow (\forall i \in 1..K, (f_i(x) \ge f_i(x^*))\land (\exists i \in 1..K, f_i(x) \gt f_i(x^*)))[/math]

Выражение [math]x \succ x^*[/math] означает, что [math]x[/math] доминирует над [math]x^*[/math].

Говорят, что [math]x[/math] доминирует над [math]x^*[/math]. по Парето, если [math]x[/math] не хуже [math]x^*[/math] по всем критериям и хотя бы по одному критерию превосходит [math]x^*[/math]. В таком случае в выборе [math]x^*[/math] нет смысла, т.к. [math]x[/math] по всем параметрам не уступает, а по каким-то и превосхожит [math]x^*[/math]. Если рассматривать всего два критерия то на рис. 1 показана область пространства, доминируемая данным решением А. Эта область «замкнута»: элементы на ее границе также доминируемы А

Рис.1 – Доминируемые решения

Определение:

Для двух решений [math]x[/math] и [math]x'[/math] говорят [math]x \sim x'[/math] тогда и только тогда, когда [math]\exists i \in 1..K \colon f_i(x) \gt f_i(x') \land \exists j \in 1..K, j \ne i \colon f_j(x') \gt f_j(x)[/math] – такую пару решений называют недоминируемой

На рис. 2 показана граница Парето для возможных решений в двухкритериальном пространстве

Рис.2 – Парето фронт

Множество Парето оптимальных недоминируемых решений называется Парето фронтом.

Multi-objectivization

Суть метода мульти-объективизации заключается в разбитии сложной задачи с одной целевой функцией на несколько подзадач, найти для каждой подзадачи решение и выбрать оптимальное решение.

Для выполнения оптимизации многокритериальной задачи мы должны добавить в целевую функцию новые параметры, либо должны добавить новые целевые функции.

Сложность этой процедуры заключается в разложении проблемы на ряд мелких независимых между собой подпроблем.

Алгоритмы

Hill-Climbers

Определение:

Hill-Climbers – Итеративный алгоритм, который начинается с произвольного решения проблемы, а затем пытается найти лучшее решение, постепенно изменяя его. Если изменения позволяют найти лучшее решение, алгоритм сохраняет его и повторяет и повторяет своё выполнение до тех пор, пока лучшие решения не могут быть найдены

Initialization:	[math]P \leftarrow \emptyset [/math] Init_pop[math](P)[/math]
Main Loop:	[math]x_1 \leftarrow [/math]Rand_mem[math](P)[/math],[math]x'_2 \leftarrow [/math]Rand_mem[math](P)[/math] [math]x'_1 \leftarrow [/math]Mutate[math](P)[/math],[math]x_2 \leftarrow [/math]Mutate[math](P)[/math] if[math](H(x_1,x'_1)+H(x_2,x'_2) \gt H(x_1,x'_2)+H(x_2,x'_1))[/math] Swap[math](x_1,x'_2)[/math] if [math]f(x'_1) \gt f(x_1)[/math] [math]P \leftarrow P \cup x'_1 \setminus x_1[/math] if [math]f(x'_2) \gt f(x_2)[/math] [math]P \leftarrow P \cup x'_2 \setminus x_2[/math]
Termination:	return Best[math](P)[/math]

Задачи

Задача коммивояжера (TSP)является наиболее известно из всего класса [math]NP[/math]-сложных задач. Формулируется задача следующим образом:

Задано [math]C=\{c_1,c_2,\dots,c_N\} [/math] – множество городов и для каждой пары [math]\{c_i,c_j\}[/math] задано расстояние. Наша цель – найти цепь из городов, минимизирующую величину:

[math]\sum^{N-1}_{i=1} d(C_{\pi(i)},C_{\pi(i+1)})+d(C_{\pi(N)},C_{\pi(1)})[/math]

Для того, чтобы объектизировать эту задачу, нам необходимо определить подзадачи. TSP – является [math]NP[/math]-сложной именно потому, что нет хорошего разложения этой задачи.

Приведем алгоритм для задачи коммивояжера на основе "жадной" стратегии:

1. Для каждой пары хромосом случайным образом выберем точку разрыва и в качестве номера стартовой вершины возьмем номер отмеченного гена в хромосоме.
2. Сравним частичную стоимость путей, ведущих из текущих вершин в хромосомах родителях, и выберем из них кратчайший.
3. Если выбранная таким образом вершина графа уже была включена в частичный путь, то взять случайную вершину из числа не просмотренных. Присвоить полученной вершине значение текущей.
4. При преждевременном образовании циклов выбирается другой кратчайший путь.
5. Повторяем пункты 2 и 3 пока не будет просмотрен гамильтонов цикл с квазиминимальной суммарной стоимостью рёбер.
6. Конец работы алгоритма

Для того, чтобы избежать проблемы локального минимума, в алгоритм вводится модификация:

1. Предпочтение более невыгодного маршрута с точки зрения заданной целевой функции более выгодному отдается с определенной вероятностью.
2. выбирается около половины генетического материала от каждого из родителей

Источники

• Википедия: Многокритериальная оптимизация
• Knowles J., Watson R., Corne D. Reducing Local Optima in Single-Objective Problems by Multi-objectivization
• Wikipedia: Multiobjective optimization
• Wikipedia: Hill climbing
• Гладков Л.А., Курейчик В.В., Курейчик В.М. "Генетические алгоритмы. Учебное пособие"