Факторгруппа

Эта статья требует доработки!

1. Требуется еще несколько примеров факторгрупп.
2. Требуется пример группы [math]G[/math] и ее подгруппы [math]H[/math] (не нормальной), для которых [math]G/H[/math] не является группой.

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).

Факторгруппа

Рассмотрим группу [math]G[/math] и ее нормальную подгруппу [math]H[/math]. Пусть [math]G/H[/math] — множество смежных классов [math]G[/math] по [math]H[/math]. Определим в [math]G/H[/math] групповую операцию по следующему правилу.

Определение:

Произведением смежностных классов [math]aH[/math] и [math]bH[/math] назовем смежностный класс [math](ab)H[/math].

Утверждение:

Определение произведения смежных классов корректно. То есть произведение смежных классов не зависит от выбранных представителей [math]a[/math] и [math]b[/math].

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH[/math]. Докажем, что [math]abH=a_1 b_1 H[/math]. Достаточно показать, что [math]a_1\cdot b_1 \in abH[/math]. В самом деле, [math]a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b[/math]. Элемент [math]h = (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)[/math] лежит в [math]H[/math] по свойству нормальности [math]H[/math]. Следовательно, [math]a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Таким образом, множество смежных классов [math]G/H[/math] с введенной на нем операцией произведения образует группу, которая называется факторгруппой [math]G[/math] по [math]H[/math] . Нейтральным элементом является [math]H[/math], обратным к [math]aH[/math] — [math]a^{-1}H[/math].

Примеры

• Рассмотрим [math]G=\mathbb{Z}[/math] и её нормальную подгруппу [math]H=n\mathbb{Z}[/math], тогда [math]G/H=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/math] (группы вычетов по модулю [math]n[/math]) будет являться факторгруппой G по H.
• Рассмотрим группу невырожденных матриц [math] GL_n[/math]. Отображение [math]A \rightarrow \det A[/math] является гомоморфизмом [math]GL_n \rightarrow \mathbb{R}[/math]. Ядро — группа матриц с единичным определителем [math]SL_n[/math]. Поэтому [math]SL_n[/math] является нормальной подгруппой в [math]GL_n[/math] и факторгруппа [math]GL_n/SL_n=\mathbb{R}[/math].
• Подгруппа ортогональных матриц [math]O_n\subset GL_n[/math] не является нормальной. Рассмотрим любую матрицу [math]A \in GL_n,\, U \in O_n[/math] и проверим ортогональность матрицы [math] AUA^{-1} [/math]: [math] (AUA^{-1})^T(AUA^{-1})=(A^{-1})^TU^TA^TAUA^{-1}\neq E[/math]. То есть [math]AO_nA^{-1}\neq O_n[/math], что и означает, что [math]O_n[/math] не является нормальной подгруппой [math]GL_n[/math].