О нелинейных операторных уравнениях

Эта статья находится в разработке!

Ранее мы рассматривали уравнения вида , где [math] y [/math] дано, так называемое "линейное уравнение 2 рода". Для ответа на вопрос "имеет ли решение это уравнение?" надо изучать [math] \sigma(\mathcal{A}) [/math].

Сложнее, когда задано уравнение вида [math]\mathcal{T}(x) = 0[/math] или [math]\mathcal{T}(x) = x[/math], где — произвольный оператор из [math] X [/math] в [math] X [/math].

В этом параграфе мы покажем 3 способа решения таких уравнений.

Содержание

1 Простые итерации
2 Метод Ньютона-Канторовича
3 Теорема Шаудера
- 3.1 Вспомогательные факты
- 3.2 Проекторы Шаудера

Простые итерации

Решаем уравнение [math] x = \mathcal{T}(x) [/math]. Составляем последовательность и изучаем сходимость последовательности .

Если [math] \mathcal{T} [/math] — непрерывный оператор, то и, по единственности предела, получаем [math] x^* = \mathcal{T} x^* [/math].

Во втором семестре у нас было определение производной Фреше: . [math] \mathcal{T}' [/math] — линейный ограниченный оператор.

Теорема (Локальная теорема о простой итерации):

Пусть известно, что существует и .

Тогда существует такой шар [math] V_{\delta} (\overline x) [/math], что если , то:

Метод простых итераций корректно определен: .
[math] x_n \to \overline x [/math]

Доказательство:

Положим .

В силу определения производной Фреше существует .

Убедимся в том, что такая [math] \delta [/math] подходит в качестве радуса шара из условия теоремы:

Предположим, что .

.

Рассмотрим первое слагаемое: , а значит, .

Второе слагаемое:

Складывая полученное: .

Окончательно мы получили, что , то есть метод простых итераций определен корректно. Попутно мы также установили, что , то есть .

Метод Ньютона-Канторовича

Ньютоном был предложен классический способ решения уравнений (метод касательных). До Ньютона использовали метод половинного деления. В двадцатом веке Канторович перенес соответствующие методы на операторные уравнения вида — непрерывный оператор из [math] X [/math] в [math] X [/math], [math]X[/math]— нормированное пространство.

Предположим, что . Получим схему метода Ньютона-Канторовича.

[math] x_0 [/math] — начальное приближение.

. Обрежем последнюю часть: .

Обозначим .

Домножим равенство с обеих сторон на [math] \Gamma(x_0) [/math]: .

.

Теперь положим и получим итерацию метода Ньютона-Канторовича для функции

Покажем, что , то есть [math] q = 0 [/math] из условия локальной теоремы о простой итерации.

Утверждение:

Запишем через значение :

, откуда .

Подставим это равенство в выражение выше:

.

Итого: , откуда

Теорема Шаудера

Рассмотрим другую идею решения [math] \mathcal{T} x = x [/math]. Оно основывается на том факте, что если функция [math] f [/math] отображает отрезок [math] [a, b] [/math] в себяЯ, то существует такая точка [math] c \in [a, b] : c = f(c) [/math].

Обобщение этого факта для [math] \mathbb{R}^n [/math] называется теоремой Брауэра:

Теорема (Брауэр, о неподвижной точке):

Пусть — ограниченное выпуклое замкнутое подмножество , непрерывно отображает в себя. Тогда .

Как перенести этот факт в бесконечномерный случай? Ответ на это дает теорема Шаудера:

Определение:

Пусть — B-пространство, — ограничено в . — непрерывное отображение в себя. Говорят, что вполне непрерывно на , если — относительно компактно в .

Теорема (Шаудер, о неподвижной точке):

Пусть — ограниченное замкнутое выпуклое подмножество B-пространства и вполне непрерывно отображает в себя. Тогда .

Замечание: теорему Брауэра нельзя будет назвать частным случаем теоремы Шаудера, так как при доказательстве теоремы Шаудера мы сошлемся на теорему Брауэера. У теоремы Шаудера также очень частое практическое применение.

Вспомогательные факты

Утверждение (Факт Первый):

Рассмотрим — последовательность вполне непрерывных операторов на , (). Тогда вполне непрерывен на .

по равномерной сходимости, .

По предположению, [math] \mathcal{T}_{n_0} [/math] — вполне непрерывный: существует конечная [math] \varepsilon [/math]-сеть [math] y_1, \hdots, y_p [/math] для [math] \mathcal{T}_{n_0}(D) [/math].

. Рассмотрим и подберем такое [math] y_j [/math], что .

. Первое слагаемое [math] \le \varepsilon [/math] по выбору [math] n_0 [/math] и равномерной сходимости. Второе слагаемое [math] \le \varepsilon [/math] по выбору [math] y_j [/math] из [math] \varepsilon [/math]-сети.

Окончательно, . Значит, мы получили -сеть для .

Утверждение (Факт Второй):

Рассмотрим — последовательность вполне непрерывных операторов на , . Тогда множество относительно компактно.

По равномерной сходимости, .

Рассмотрим множество . Оно относительно компактно как конечное объединение относительно компактных множеств.

рассмотрим [math] \varepsilon [/math]-сеть для этого множества: [math] y_1, \hdots, y_p [/math].

Рассмотрим . Проверим, что [math] y_1, \hdots, y_p [/math] — [math] k \varepsilon [/math]-сеть для этого множества, где число [math] k [/math] определим позже.

Возьмем произвольный .

Рассмотрим, в какое из множеств попадает выбранный нами [math] y [/math]. Пусть, для начала, [math] y \in \mathcal{T}_n(D) [/math].

Если [math] n \le n_0 [/math], то .

Пусть .

[math] \| y - y_j \| [/math]

.

Первые два слагаемых [math] \le \varepsilon [/math] по равномерной сходимости, третье [math] \le \varepsilon [/math] по выбору [math] \varepsilon [/math]-сети для [math] n_0 [/math].

Аналогичную оценку получаем, если [math] y \in \mathcal{T}(D) [/math].

В итоге, получили, что — -сеть для .

Проекторы Шаудера

О нелинейных операторных уравнениях

Содержание

Простые итерации

Метод Ньютона-Канторовича

Теорема Шаудера

Вспомогательные факты

Проекторы Шаудера

Навигация

Персональные инструменты

Пространства имён

Варианты

Просмотры

Ещё

Поиск

Навигация

Инструменты