Ортогональность

Определение:

Пусть [math]E[/math] - унитарное пространство. Базис [math]\{e_i\}_{i=1}^{n}[/math] называется ортогональным, если [math]\left \langle e_i;e_j \right \rangle=0[/math], где [math](i \ne j)[/math].

Определение:

Базис [math]\{e_i\}_{i=1}^{n}[/math] называется ортонормированным, если [math]\left \langle e_i;e_j \right \rangle=\delta_{ij}[/math], то есть: 1) [math]e_i \bot e_j[/math], для [math](i \ne j)[/math]. 2) [math] \Vert e_i \Vert=1 \ (i=1..n) [/math]

Процесс ортогонализации набора векторов (Грам-Шмидт)

Утверждение:

Пусть [math]\{x_i\}_{i=1}^{n} - [/math] ЛНЗ [math](x_i \ne 0)[/math] 1) [math]e_1=x_1[/math] 2) [math]e_2=x_2 + \alpha_1 e_1[/math] и так далее k) [math]e_k=x_k + \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + ... + \alpha_{k-1} e_{k-1}[/math] [math](*)[/math]

[math]\triangleright[/math]

На 2-ом шаге надо, чтобы [math]e_1 \bot e_2[/math], то есть [math]0= \left \langle e_2;e_1 \right \rangle = \left \langle x_2;e_1 \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_1 \right \rangle [/math] [math] \Rightarrow \alpha_1 = \frac{- \left \langle x_2;e_1 \right \rangle }{ \left \langle e_1;e_1 \right \rangle } [/math] На k-ом шаге уже есть [math]e_1, e_2...e_{k-1}[/math] [math]-[/math] попарно [math] \bot \ (k \leqslant m)[/math]. Надо, чтобы [math]e_k \bot e_i \ (i=1..k-1)[/math] Рассмотрим [math] \left \langle (*);e_i \right \rangle [/math] Необходимо, чтобы [math]0=\left \langle e_k;e_i \right \rangle = \left \langle x_k;e_i \right \rangle + \alpha_1 \left \langle e_1;e_i \right \rangle +...+ \alpha_i \left \langle e_i;e_i \right \rangle +...+ \alpha_{k-1} \left \langle e_{k-1};e_i \right \rangle [/math], где [math]\left \langle e_i;e_j \right \rangle =0, \ i \ne j [/math] Тогда [math]\alpha_i = \frac{- \left \langle x_k;e_i \right \rangle }{ \left \langle e_i;e_i \right \rangle }[/math] Лемма: Данный процесс не оборвется, то есть все [math]e_i \ne 0[/math] Доказательство: [math]\triangleright[/math] Докажем методом от противного. [math]\triangleleft[/math]

[math]\triangleleft[/math]