Свойства перечислимых языков. Теорема Успенского-Райса

Свойства языков

Рассмотрим множество всех перечислимых языков [math] \mathrm {RE} [/math].

Определение:

Свойством языков (англ. property of languages) называется множество [math] A \subset \mathrm {RE} [/math].

Пример.

Свойство языка, язык содержит слова hello.

Определение:

Свойство называется тривиальным (англ. trivial), если [math] A = \varnothing [/math] или [math] A = \mathrm {RE} [/math].

Псевдокод для [math] A = \varnothing [/math]

p(A)
  return false

Псевдокод для [math] A = \mathrm {RE} [/math].

p(A)
  return true

Определение:

Язык свойства (англ. language of property) [math] A [/math] — множество программ, языки которых обладают этим свойством: [math]L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p \mid L(p) \in A \rbrace [/math].

Пример. Пусть [math]p_X[/math] — разрешитель некоторого языка

p([math]p_X[/math])
  return [math]p_X[/math]('hello')

Определение:

Свойство [math] A [/math] называется разрешимым (англ. recursive), если [math]L(A) [/math] является разрешимым.

Теорема Успенского-Райса

Теорема:

Язык никакого нетривиального свойства не является разрешимым.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Приведём доказательство от противного. Предположим, что [math]A[/math] разрешимо и нетривиально, [math]p_A[/math] — программа, разрешающая [math]A[/math]. Не умаляя общности, можно считать, что [math]\varnothing \notin A[/math] (в противном случае перейдём к [math] \mathrm {RE} \setminus A[/math], которое также будет разрешимым и нетривиальным, так как [math] \mathrm {RE} \setminus A[/math] != [math]\varnothing [/math] и [math] \mathrm {RE} \setminus A[/math] != [math]\mathrm {RE} ) [/math]. Исключение пустого множества нам нужно чтобы различать [math] X[/math] и пустое (при построении функции L(g_{i,x}). Поскольку [math]A[/math] непусто, то найдётся перечислимый язык [math]X \in A[/math]. Пусть [math]p_X[/math] — полуразрешитель [math]X[/math]. Рассмотрим вспомогательную программу: [math] U(i, x) [/math] — универсальная функция [math]g_{i,x}(y):[/math] if U(i, x) == 1 //если i на входе x выдает 1 return [math]p_X(y)[/math] else while true Нетрудно понять, что в разумной модели вычислений номер этой программы можно вычислить по данным [math]i[/math] и [math]x[/math]. Значит, можно рассмотреть такую программу: [math]US(\langle i, x \rangle )[/math] return [math]p_A ( g_{i,x} ) [/math] Заметим, что [math] L(g_{i,x}) = \begin{cases} X, & U(i, x) = 1; \\ \varnothing, & U(i, x) \neq 1; \\ \end{cases} [/math] Следовательно, [math] US(\langle i, x \rangle ) = p_A(g_{i,x}) = \begin{cases} p_A(p_X), & U(i, x) = 1; \\ p_A(p_\varnothing ), & U(i, x) \neq 1; \\ \end{cases} = \begin{cases} 1, & U(i, x) = 1; \\ 0, & U(i, x) \neq 1; \\ \end{cases} [/math] — программа, разрешающая универсальное множество. Получили противоречие.

[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

• Wikipedia — Rice's theorem
• Rice, H. G. "Classes of Recursively Enumerable Sets and Their Decision Problems." Trans. Amer. Math. Soc. 74, 358-366, 1953.
• Хопкрофт Д., Мотванн Р., Ульманн Д. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений страница 397.