Определение
| Определение: |
| [math]y^{(n)} + p_1(x)y^{(n - 1)} + \dots + p_{n - 1}(x)y' + p_n(x)y = f(x)[/math] — называется линейным уравнением n-ного порядка. |
| Определение: |
| если [math]f(x)\equiv 0[/math] то уравнение называется однородным, иначе - неоднородным. |
пусть [math]\alpha(y) = y^{(n)} + p_1(x)y^{(n - 1)} + \dots + p_{n - 1}(x)y' + p_n(x)y[/math], тогда уравнение имеет вид [math]\alpha(y) = f(x)[/math].
[math]\alpha(y)[/math] называется линейным дифференциальным оператором n-ного порядка.
Очевидно, что [math]\alpha (\Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_k\alpha(y_k)[/math].
Свойства решения однородного уравнения
Если [math]y_1(x), \dots, y_n(x)[/math] — решения ЛОДУ (линейного однородного дифференциального уравнения), то [math]y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)[/math] — решение.
Отсюда делаем вывод, что множество решений ЛОДУ - это линейное пространство.
| Определение: |
| функции [math]y_1(x), \dots, y_n(x)[/math] называются линейно зависимыми(ЛЗ), если
[math]\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) \equiv 0 \Leftrightarrow \Sigma_{k = 0}^{n} \alpha_k^2 = 0[/math].
иначе они называются линейно независимыми(ЛНЗ). |
| Утверждение: |
если [math]y_1(x),\dots, y_n(x)[/math] - ЛЗ в промежутке (a, b) , то одна из них представляется линейной комбинацией остальных. |
| [math]\triangleright[/math] |
|
пусть [math]\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) = 0 [/math] при некотором наборе [math]\alpha_i[/math] , среди которых хотя бы одна отлична от нуля.
тогда [math]y_m(x) = -\frac{\alpha_1}{\alpha_m}y_1 - \frac{\alpha_2}{\alpha_m}y_2 - \dots - \frac{\alpha_{m - 1}}{\alpha_m}y_{m - 1}- \frac{\alpha_{m + 1}}{\alpha_m}y_{m + 1} - \dots - \frac{\alpha_n}{\alpha_m}y_n[/math], где [math]\alpha_m \neq 0[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
Фундаментальная система решений ЛОДУ
| Определение: |
| Совокупность из n ЛНЗ решений в интервале (a, b) называется фундаментальной системой решений ЛОДУ. |
| Определение: |
| Определитель Вронского набора [math]y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)[/math] имеет вид:
[math]
W(x) =\begin{vmatrix}
y_1(x) & y_2(x) & \dots & y_n(x) \\
y_1'(x) & y_2'(x)& \dots &y_n'(x) \\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
y_1^{(n - 1)}(x) &y_2^{(n - 1)}(x) & \dots & y_n^{(n -1)}(x)
\end{vmatrix}[/math] |
| Теорема (критерий ЛНЗ решений ЛОДУ): |
пусть [math]y_1(x), \dots , y_n(x)[/math] - некоторая совокупность решений уравнения [math]\alpha(y) = 0[/math].
Тогда она образует ЛНЗ набор тогда и только тогда , когда [math]W(x) \neq 0[/math] на (a, b). |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
рассмотрим сумму [math]\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x)[/math], и найдем набор [math]\alpha_1, \dots, \alpha_n[/math], при котором она обращается в 0. Т.е. решим уравнение относительно альф.
продифференцировав, n - 1 раз уравнение получим систему:
[math]
\left\{\begin{matrix}
\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) = 0\\
\alpha_1y_1'(x) + \alpha_2y_2'(x) + \dots + \alpha_ny_n'(x) = 0
\\
\dots
\\
\alpha_1y_1^{(n - 1)}(x) + \alpha_2y_2^{(n - 1)}(x) + \dots + \alpha_ny_n^{(n - 1)}(x) = 0
\end{matrix}\right.
[/math]
получаем однородную систему линейных уравнений относительно альф. она имеет нетривиальное решение тогда и только тогда , когда ее определитель равен 0 , а он, по определению , является определителем Вронского. теорема доказана. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Общее решение ЛОДУ
| Утверждение (Формула Остроградского-Лиувиля): |
Определитель Вронского равен [math]W(x) = W(x_0)e^{-\int_{x_0}^{x}p_1(t)dt}[/math], где [math]p_1(x)[/math] — коэффицент при
[math]y^{(n - 1)}[/math]
если [math]W(x_0)= 0 \Rightarrow W(x) = 0 \: \forall x[/math]
если [math]W(x_0)\neq 0 \Rightarrow W(x) \neq 0 \: \forall x[/math] |
| Теорема (структура общего решения ЛОДУ): |
пусть [math]y_1(x), \dots, y_n(x)[/math] - ФСР, [math]\alpha(y) = 0[/math] в (a, b) тогда общее решение имеет вид:
[math]y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]y_1(x), \dots, y_n(x)[/math] - ФСР, [math]\alpha(y) = 0[/math] в (a, b) т.к. в окрестности /* TODO: какой?*/ выполнено условие теоремы Пикара => решение существует и единственно.
Покажем, что [math](\ast) [/math] - общее решение:
[math]
\left\{\begin{matrix}
y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)
\\
y'(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k'(x)
\\
\dots
\\
y^{(n -1)}(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k^{(n - 1)}(x)
\end{matrix}\right.
[/math] — эта система разрешима относительно [math]C_i, \forall i=1..n[/math], так как [math]W(x) \neq 0 \:\: \Rightarrow[/math]
[math]y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)[/math] — есть общее решение [math]\alpha(y) = 0[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
Общее решение ЛНДУ
| Теорема: |
Общее решение ЛНДУ(линейного неоднородного дифференцального уравнения) есть суперпозиция любого частного решения ЛНДУ и общего решения соответствующего ЛОДУ |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
обозначаем:
[math]y_{p.i.}[/math] — частное решение ЛНДУ.
[math]z_{c.h.}[/math] — общее решение ЛОДУ.
[math]y(x) = y_{p.i.}(x) + z_{c.h.} \: ?[/math]
пусть [math]y_1(x) = y_{p.i.}, \: z(x) = z_{c.h.}[/math]
рассмотрим [math]y(x) = y_1(x) + z(x)[/math]. [math]\alpha(y) = \alpha(y_1 + z) = \alpha(y_1) + \alpha(z)[/math]. Но [math]\alpha(y_1) = f(x) \Rightarrow[/math]
[math]f(x) = f(x) + \alpha(z) \Rightarrow \alpha(z) = 0[/math]. Значит y - действительно общее решение [math]\alpha(y) = f(x)[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
