Бор

Бор (англ. trie, луч, нагруженное дерево) — структура данных для хранения набора строк, представляющая из себя подвешенное дерево с символами на рёбрах. Строки получаются последовательной записью всех символов, хранящихся на рёбрах между корнем бора и терминальной вершиной. Размер бора линейно зависит от суммы длин всех строк, а поиск в бору занимает время, пропорциональное длине образца.

Пример

Бор для набора образцов [math] \{ \textbf{he}, \textbf{she}, \textbf{his}, \textbf{hers}\} [/math]:

Построение

Обозначения

Введем следующие обозначения:

• [math]P = \{P_1,\ldots,P_k\} [/math] — набор строк, называемый словарем;
• [math]n = \sum_{i=1}^{k}\limits |P_i|[/math] — сумма длин строк.

Бор храним как список смежности, в котором храним список рёбер, которые соответствуют каждому символу, а так же храним терминальные вершины.

Алгоритм

Непосредственно построение:

• Начало.
• Шаг 1. Создадим дерево из одной вершины (в нашем случае корня).
• Шаг 2. Добавление элементов в дерево.
  • Добавляем шаблоны [math]P_i[/math] один за другим. Следуем из корня по рёбрам, отмеченным буквами из [math]P_i[/math], пока возможно.
  • Если [math]P_i[/math] заканчивается в [math]v[/math], сохраняем идентификатор [math]P_i[/math] (например, [math]i[/math]) в [math]v[/math] и отмечаем вершину [math]v[/math] как терминальную.
  • Если ребра, отмеченного очередной буквой [math]P_i[/math] нет, то создаем новое ребро и вершину символа [math]P_i[/math].
• Конец.

Это занимает, очевидно, [math]O(|P_1| + \ldots + |P_k|) = O(n)[/math] времени, так как поиск буквы, по которой нужно переходить, происходит за [math]O(1)[/math](в вершине есть указатели на буквы).

Поскольку на каждую вершину приходится [math]O(1)[/math] памяти, то использование памяти есть [math]O(n)[/math].

Другие модификации

Бор позволяет решать задачу поиска подстроки в строке, если построить его на множестве суффиксов исходной строки.

Бор имеет хорошее применение в виде цифрового бора.

Использование бора

Поиск строки в бору

Задача:

Требуется найти слово в словаре.

При решении этой задачи, обход бора совершается из его корня по рёбрам, отмеченным символами [math]S[/math], пока возможно. Если с последним символом [math]S[/math] мы приходим в вершину с сохраненным идентификатором, то [math]S[/math] — слово из словаря. Если в какой-то момент ребра, отмеченного нужным символом, не находится, то строки [math]S[/math] в словаре нет. Ясно, что это занимает [math]O (|S|)[/math] времени. Таким образом, бор — это эффективный способ хранить словарь и искать в нем слова.

Использование бора в качестве ассоциативного массива

Благодаря тому, что бор позволяет решать задачу, описанную выше, он может выступать в качестве ассоциативного массива. Обычно, когда требуется такая структура, то используют двоичное дерево поиска или хеш-таблицу.

Достоинства

Бор объединяет некоторые преимущества этих структур данных и позволяет одновременно делать следующие операции, которые каждая из структур не может делать по отдельности.

1. Добавление элемента в ассоциативный массив за [math]O(k)[/math] (дерево выполняет данную операцию за [math]O(k\log m)[/math]).
2. Получение всех ключей в отсортированном порядке за [math]O(m)[/math] (хеш-таблица выполняет данную операцию за [math]O(m\log m)[/math]).

Обозначения:

• [math]k[/math] — длина строки
• [math]m[/math] — число ключей

Недостатки

Несмотря на данные достоинства у реализации ассоциативного массива в виде бора есть следующий недостаток:

1. Бор хранит строки или символы, а это значит, что у значения ключа будет ограничение на тип (строки, символы, либо числа, представленные как строки). Чтобы это исправить, будем использовать любой тип данных, у которого прописаны операторы сравнения.
2. Если реализовывать ассоциативный массив на обычном боре, а ключами будут являться строки, то будет использоваться слишком много памяти (возможен вариант, когда у слов нет пересечений по префиксу, тогда бор будет использовать [math]O(nk)[/math], где [math]k[/math] — длина слова).

См. также

• Суффиксный массив
• Суффиксный бор
• Сжатое суффиксное дерево
• Алгоритм Ахо-Корасик

Источники информации

• Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — ISBN 5-8489-0857-4
• Бор. Построение бора