Свойства перечислимых языков. Теорема Успенского-Райса

Свойства языков

Рассмотрим множество всех перечислимых языков [math] \mathrm {RE} [/math].

Определение:

Свойством языков (англ. property of languages) называется множество [math] A \subset \mathrm {RE} [/math].

Определение:

Свойство называется тривиальным (англ. trivial), если [math] A = \varnothing [/math] или [math] A = \mathrm {RE} [/math].

Определение:

Язык свойства (англ. language of property) [math] A [/math] — множество программ, языки которых обладают этим свойством: [math]L(A) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \lbrace p \mid L(p) \in A \rbrace [/math].

Отметим, что принадлежность программы [math]p[/math] языку свойства [math]A[/math] можно выразить двумя эквивалентными утверждениями: [math]L(p) \in A[/math] и [math]p \in L(A)[/math]. Далее в конспекте будет употребляться [math]p \in L(A)[/math].

Определение:

Свойство [math] A [/math] называется разрешимым (англ. recursive), если [math]L(A) [/math] является разрешимым.

Примеры

Примеры свойств:

1. Язык должен содержать слово hello.
2. Язык должен содержать хотя бы одно простое число.

Псевдокод для разрешителя [math]L(A)[/math], где [math]A = \mathrm {RE}: [/math]

[math]p_A(p_X)[/math]  // [math]p_X[/math] — полуразрешитель некоторого языка
  return true

Псевдокод для программы в общем случае, то есть для проверки того, что язык удовлетворяет свойству :

[math]p_A(p_X)[/math] 
  return [math]p_X \in L(A)[/math]

Псевдокод полуразрешителя для языка свойства из первого примера:

[math]p_A(p_X)[/math]  // [math]X[/math] — перечислимый язык в общем случае, поэтому [math]p_A[/math] — полуразрешитель (по теореме Райса-Шапиро)
  return [math]p_X[/math]('hello')

Теорема Успенского-Райса

Теорема:

Язык никакого нетривиального свойства [math]A[/math] не является разрешимым.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]p_\infty[/math] — всегда зацикливающийся алгоритм. Рассмотрим случай, когда [math]p_\infty \in L(A)[/math]. Приведём доказательство от противного. Предположим, что [math]A[/math] разрешимо. Рассмотрим [math]p_a[/math] (здесь [math]a[/math] обозначает то, что [math]p_a[/math] — программа из дополнения (addendum) ко множеству [math]A[/math]) — программу, такую что [math]p_a \in L(\overline A)[/math]. Такое [math]p_a[/math] существует, т.к. [math]A[/math] — нетривиально. Также рассмотрим произвольное перечислимое неразрешимое множество [math]X[/math]. Пусть [math]p_X(n)[/math] — полуразрешитель [math]X[/math]. Зафиксируем произвольное [math]n \in \mathbb{N}[/math] и построим следующую функцию [math]V_n(x) = \begin{cases} p_a(x), n \in X \\ p_\infty(x), n \notin X \\ \end{cases} [/math] function [math]V_n[/math](x): if [math]p_X[/math](n) == 1 return [math]p_a[/math](x) while true Получили, что если [math]n \in X[/math], то [math]V_n \in L(\overline A)[/math], а если [math]n \notin X[/math], то [math]V_n \in L(A)[/math]. Таким образом, [math]n \in X \iff V_n \in L(\overline A)[/math]. Так как [math]\overline A[/math] — разрешимо, то можно проверить для любого [math]V_n[/math], лежит ли оно в [math]L(\overline{A})[/math]. Но это тоже самое, что и проверка [math]n \in X[/math]. Тогда можно для каждого [math]n[/math] проверить, лежит ли оно в [math]X[/math], а следовательно и построить разрешитель для [math]X[/math]. Так как [math]X[/math] — неразрешимо, получили противоречие. Теперь рассмотрим случай, когда [math]p_\infty \in L(\overline{A})[/math]. Так как [math]\overline{A}[/math] — нетривиально (как дополнение к нетривиальному множеству), то по первой части доказательства оно неразрешимо. Следовательно, [math]A[/math] также неразрешимо.

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Теорема о рекурсии
• Теорема Райса-Шапиро

Источники информации

• Wikipedia — Rice's theorem
• Rice, H. G. — Classes of Recursively Enumerable Sets and Their Decision Problems." — Trans. Amer. Math. Soc. 74, 358-366, 1953.
• Хопкрофт Д., Мотванн Р., Ульманн Д. —Введение в теорию автоматов, языков и вычислений — стр. 397.