Список заданий по ДМ 2017 осень

<wikitex>

Дискретная математика, 1 семестр

Задания, помеченные 🤔 - задания повышенной сложности. Задания, помеченные 😱 - задания очень высокой сложности.

1. Пусть $R$ и $S$ - рефлексивные отношения на $A$. Будет ли рефлексивным их а) объединение? б) пересечение? В этом и следующих заданиях, если ответ отрицательный, при демонстрации контрпримера удобно использовать представление отношения в виде ориентированного графа.
2. Пусть $R$ и $S$ - симметричные отношения на $A$. Будет ли симметричным их а) объединение? б) пересечение?
3. Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивным их а) объединение? б) пересечение?
4. Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на $A$. Будет ли антисимметричным их а) объединение? б) пересечение?
5. Определим $R^{-1}$ следующим образом: если $xRy$, то $yR^{-1}x$. Выполнено ли соотношение $RR^{-1} = I$, где $I$ - отношение равенства? Выполнен ли закон сложения степенией $R^iR^j=R^{i+j}$, если $i$ и $j$ разного знака?
6. Пусть $R$ обладает свойством $X$. Будет ли обладать свойством $X$ отношение $R^{-1}$? Следует проанализировать $X$ - рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность
7. Пусть $R$ и $S$ - транзитивные отношения на $A$. Будет ли транзитивным их композиция?
8. Пусть $R$ и $S$ - антисимметричные отношения на A. Будет ли антисимметричным их композиция?
9. Постройте пример рефлексивного, симметричного, но не транзитивного отношения
10. Постройте пример рефлексивного, антисимметричного, но не транзитивного отношения
11. Является ли отношение $R$, такое что $(a, b) R (c, d)$, если $ad = bc$ на ${\mathbb Z}^+ \times {\mathbb N}$ отношением эквивалентности?
12. Может ли отношение частичного порядка быть отношением эквивалентности? Если да, то в каких случаях?
13. Можно ли в определении отношения эквивалентности убрать требование рефлексивности отношения, потому что оно следует из симметричности и транзитивности?
14. 🤔 Транзитивный остов. Задано антисимметричное транзитивное отношение $R$ на $X$. Предолжите полиномиальный алгоритм построения отношения $S$, такого что $S^+=R$, причем в $S$ содержится минимальное число пар элементов.
15. 🤔 В предыдущем задании требование транзитивности опустить нельзя. Задано антисимметричное отношение $R$ на $X$. Докажите, что если существует полиномиальный алгоритм построения отношения $S$, такого что $S \subset R$ и $S^+=R^+$, причем в $S$ содержится минимальное число пар элементов, то можно проверить, есть ли в графе гамильтонов цикл (цикл, проходящий по каждой вершине графа ровно один раз) за полиномиальное время.
16. Выразите в явном виде "и", "или" и "не" через стрелку Пирса
17. Выразите в явном виде "и", "или" и "не" через штрих Шеффера
18. Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{x\oplus y, x = y\}$?
19. Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{x\to y, \neg x\}$?
20. Можно ли "и", "или" и "не" выразить через функции из множества $\{{\mathbf 0}, \langle xyz\rangle, \neg x\}$ ?
21. Можно ли выразить "и" через "или"?
22. Выразите медиану 5 через медиану 3
23. 🤔 Выразите медиану $2n+1$ через медиану 3
24. Булева функция называется пороговой, если $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 1$ тогда и только тогда, когда $a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n \ge b$, где $a_i$ и $b$ - вещественные числа. Докажите, что "и" и "или" - пороговые функции.
25. Приведите пример непороговой функции
26. Рассмотрим булеву функцию $f$. Обозначим как $N(f)$ число наборов аргументов, на которых $f$ равна 1. Например, $N(\vee) = 3$. Обозначим как $\Sigma(f)$ сумму всех наборов аргументов, на которых $f$ равна 1 как векторов. Например, $\Sigma(\vee) = (2, 2)$. Докажите, что если для пороговой функции $f$ и функции $g$ выполнено $N(f) = N(g)$ и $\Sigma(f) = \Sigma(g)$, то $f = g$