Символ Похгаммера

Определение:

В математике убывающим факториалом (англ. falling factorial) (иногда называется нисходящим факториалом, постепенно убывающим факториалом или нижним факториалом) обозначают: $(x)_{n}=x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod\limits_{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(x-k)$ При $n=0$ значение принимается равным $1$ (пустое произведение).

Определение:

Растущий факториал (англ. rising factorial) (иногда называется функцией Похгаммера, многочленом Похгаммера, восходящим факториалом, постепенно растущим произведением или верхним факториалом) определяется следующей формулой: $x^{(n)}=x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\prod\limits_{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(x+k).$ При $n=0$ значение принимается равным $1$ (пустое произведение).

Грахам, Кнут и Паташник предложили произносить эти записи как "$x$ растущий к $m$" и "$x$ убывающий к $m$" соответственно.

В зависимости от контекста символ Похгаммера может обозначать как растущий факториал, так и убывающий факториал.

Когда $x$ неотрицательное целое число, $(x)_n$ равняется числу инъективных отображений из множества с $n$ элементами во множество из $x$ элементов. Для обозначения этого числа часто применяют обозначения $_x P_n$ и $P(x,n)$. Символ Похгаммера в основном используется в алгебре, где $x$ — переменная, то есть $(x)_n$ есть ни что иное как многочлен степени $n$ от $x$.

Замечание

Другие формы записи убывающего факториала: $P(x,n)$, $^x P_n$, ,$P_{x,n}$ или $_x P_n$.

Другое обозначение растущего факториала $x^{(n)}$ реже встречается, чем $(x)^+_n$. Обозначение $(x)^+_n$ используется для растущего факториала, запись $(x)^-_n$ обычно применяется для обозначения убывающего факториала для избежания недоразумений.

График растущего факториала для $n$ от $0$ до $4$

Примеры

График убывающего факториала для $n$ от $0$ до $4$

Несколько первых растущих факториалов:

$x^{(0)}=x^{\overline0}=1$

$x^{(1)}=x^{\overline1}=x$

$x^{(2)}=x^{\overline2}=x(x+1)=x^2+x$

$x^{(3)}=x^{\overline3}=x(x+1)(x+2)=x^3+3x^2+2x$

$x^{(4)}=x^{\overline4}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^4+6x^3+11x^2+6x$

Несколько первых убывающих факториалов:

$(x)_{0}=x^{\underline0}=1$

$(x)_{1}=x^{\underline1}=x$

$(x)_{2}=x^{\underline2}=x(x-1)=x^2-x$

$(x)_{3}=x^{\underline3}=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x$

$(x)_{4}=x^{\underline4}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4-6x^3+11x^2-6x$

Коэффициенты в выражениях являются числами Стирлинга первого рода.

Свойства

Убывающий и растущий факториалы определены так же и в любом ассоциативном кольце с единицей и, следовательно, $x$ может быть даже комплексным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой функцией определенной на комплексных числах.

Коэффициенты связи

Так как убывающие факториалы — базис кольца многочленов, мы можем переписать произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов:

$(x)_m (x)_n = \sum\limits_{k=0}^m {m \choose k} {n \choose k} k!\, (x)_{m+n-k}.$

Определение:

Убывающие факториалы $(x)_{m+n-k}$ называются коэффициентами связи (англ. connection coefficients).

Биномиальный коэффициент

Растущий и убывающий факториалы могут быть использованы для обозначения биномиального коэффициента:

$\frac{x^{(n)}}{n!} = {x+n-1 \choose n}$ и $\frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.$

Таким образом, многие свойства биномиальных коэффициентов справедливы для убывающих и растущих факториалов.

Связь убывающего и растущего факториалов

Растущий факториал может быть выражен как убывающий факториал, начинающийся с другого конца,

$x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n$

или как убывающий с противоположным аргументом,

$x^{(n)} = {(-1)}^n {(-x)}_{{n}}$

Отношение двух символов Похгаммера можно выразить следующим образом:

$\frac{(x)_n}{(x)_i} = (x-i)_{n-i},\ n \geqslant i.$

Убывающий факториал возможно выразить следующим способом:

$(x)_{m+n} = x_{m} (x-m)_{n}$

$(x)_{-n} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)} = \frac{1}{(x+1)^n} = \frac{1}{(x+n)_n} = \frac{1}{n! \binom{x+n}{n}}$

Числа Стирлинга первого рода

Растущий факториал выражается с помощью чисел Стирлинга первого рода:

$x^{(n)} = \sum\limits_{k=1}^n s(n,k) x^k$

Числа Стирлинга второго рода

Убывающий и растущий факториалы выражаются друг через друга при помощи чисел Стирлинга второго рода:

$x^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ n-k \end{matrix} \right\} (x)_{n-k}$

$= \sum\limits_{k=0}^{n} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\}(-1)^{n-k} (x)_k$

Числа Лаха

Убывающий и растущий факториалы связаны друг с другом числами Лаха:

Утверждение:

$x^{(n)} = \sum\limits_{k=1}^n (L(n,k) \times (x)_k) = \sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k)$

$\triangleright$

Второе равенство получается из определения чисел Лаха. Поэтому осталось доказать лишь то, что левая часть равняется правой: $x^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (x)_k)$ Подставим целое $m$ из отрезка $[0;n]$, тогда получим: $m^{(n)} =\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k)$ Заметим, что $(m)_k=0$ при $m+1 \leqslant k$, поэтому слагаемые из суммы в правой части, начиная с $k\geqslant m+1$, равны нулю, то есть: $\sum\limits_{k=1}^n (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k)=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} \times (m)_k)$ Поделим обе части на $n!$ и получим, что левая часть равна: $\frac{(n+m-1)!}{(m-1)!n!}=\frac{(n+m-1)!}{((n+m-1)-n)!n!}=\binom{n+m-1}{n}$ а правая часть будет равна: $\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{1}{k!}\times\frac{m!}{(m-k)!})=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\times\frac{m!}{k!(m-k)!})$ $=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}\times\frac{m!}{k!(m-k)!})=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{k-1}\times\binom{m}{k})$ То есть мы хотим теперь доказать тождество: $\binom{n+m-1}{n}=\sum\limits_{k=1}^{min(m,n)} (\binom{n-1}{n-k}\times\binom{m}{k})$ Это тождество очевидно из комбинаторики, так как обе части равны числу способов выбрать из $n+m-1$ элементов, разделённых на два множества по $n-1$ и $m$ элементов, $n$ элементов. С одной стороны нельзя не признать, что это левая часть тождества по определению сочетания. С другой стороны нельзя не согласиться, что это правая часть тождества, в котором $k$ означает количество элементов, берущихся из множества размера $m$, а $n-k$ из второго множества размера $n-1$. Многочлены, стоящие в левой и правой частях тождества, оказались равны в $n+1$ точке и при этом имеют степень не больше $n$, то есть они формально совпадают.

$\triangleleft$

Гамма функция

Растущий факториал может быть продолжен на вещественные значения $n$, но с использованием Гамма функции при условии, что $x$ и $x+n$ вещественные числа, но не отрицательные целые.

Утверждение:

$x^{(n)}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}$

$\triangleright$

$\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ — для комплексного $z$. Значит, это тождество верно и для $z=x$, где $x$ — вещественное число. То есть: $\Gamma(x) = (x-1)\Gamma(x-1)$ — для вещественного $x$. Заметим тогда, что: $\Gamma(x+n) = ((x+n)-1)\cdot\Gamma((x+n)-1) = ((x+n)-1)(x+n-2)\cdot\Gamma((x+n)-2)$ $= \cdots = ((x+n)-1)((x+n)-2)\cdots((x+n)-n)\cdot\Gamma((x+n)-n)$ $= ((x+n)-1)((x+n)-2)\cdots x\cdot\Gamma(x)$ Значит: $\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)} = \frac{((x+n)-1)((x+n)-2)\cdots x\cdot\Gamma(x)}{\Gamma(x)}$ $= (x+n-1)(x+n-2)\cdots x = x(x+1)\cdots(x+n-1)=x^{(n)}$

$\triangleleft$

то же самое и про убывающий факториал:

Утверждение:

$(x)_n=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}$

$\triangleright$

$\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ — для комплексного $z$. Значит, это тождество верно и для $z=x$, где $x$ — вещественное число. То есть: $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ — для вещественного $x$. Заметим тогда, что: $\Gamma(x+1) = x\cdot\Gamma(x) = x(x-1)\cdot\Gamma(x-1)$ $= \cdots = x(x-1)\cdots(x-n+1)\cdot\Gamma(x-n+1)$ Значит: $\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)} = \frac{x(x-1)\cdots(x-n+1)\cdot\Gamma(x-n+1)}{\Gamma(x-n+1)}$ $= x(x-1)\cdots(x-n+1) = (x)_n$

$\triangleleft$

Дифференциал

Утверждение:

$\frac{\partial^n(x^a)}{\partial x^n} = (a)_n\,\, x^{a-n}$

$\triangleright$

$\frac{\partial^n(x^a)}{\partial x^n} =a\times\frac{\partial^{n-1}(x^{a-1})}{\partial x^{n-1}}=a(a-1)\times\frac{\partial^{n-2}(x^{a-2})}{\partial x^{n-2}}$ $=a(a-1)\cdots (a-n+2)\times\frac{\partial(x^{a-(n-1)})}{\partial x}=(a)_n\,\, x^{a-n}$

$\triangleleft$

Обобщения

Существует обобщённый символ Похгаммера, используемый в многомерном математическом анализе. Также существует $q$-аналог — $q$-Похгаммер символ.

Обобщение убывающего факториала — функция, определённая следующим образом:

$[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),$

где $-h$ и $k$ — разница в убывающей арифметической прогрессии аргументов множителей и число множителей соответственно. Аналогичное обобщение растущего факториала:

$[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).$

Эта запись объединяет растущий и убывающий факториалы, которые $[x^{k/1}]$ и $[x^{k/-1}]$ соответственно.

Для арифметической функции $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$ и параметров $x, t$ определено обобщенное факториальное произведение вида:

$(x)_{n,f,t} = \prod\limits_{k=1}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)$

См.также

• Числа Стирлинга первого рода
• Числа Стирлинга второго рода

Источники информации

• Pochhammer Symbol
• Wikipedia — Falling and rising factorials
• Pochhammer Symbol at MATLAB
• Rising Factorial
• Several identities involving the falling and rising factorials and the Cauchy, Lah, and Stirling numbers