Производящие функции нескольких переменных

Определение:

Производящие функции нескольких переменных (англ. multivariable generating function) — обычные производящие функции, зависящие более, чем от одной переменной. Очень часто применяются функции от двух переменных (далее они и будут рассматриваться), которые в общем случае принимают вид: [math]G(x, y) = \sum\limits_{n, k \geqslant 0} g_{n, k} x^n y^k[/math].

Рассмотрим несколько примеров :

Треугольник Паскаля

Определение:

Треугольник Паскаля (англ. Pascal's triangle) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел.

Рис.[math]1[/math]

Элементы треугольника (рис.[math]1[/math]) перечисляют пути, идущие из его вершины в соответствующую клетку. Пути имеют вид ломаных, составленных из векторов единичной длины двух видов: идущих вправо-вниз и идущих влево-вниз.

Производящая функция может быть сопоставлена треугольнику Паскаля несколькими способами. Например, можно рассмотреть производящую функцию

[math]\sum\limits_{n,k = 0}^{\infty} c_{n,k} x^k y^n = \sum\limits_{n,k = 0}^{\infty} \binom{n}{k} x^k y^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\Big(\sum\limits_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} x^k\Big) y^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (1 + x)^n y^n = \dfrac{1}{1 - y - xy}[/math]

Рис.[math]2[/math]

Второй способ соответствует нумерации элементов треугольника числом отрезков каждого типа на путях, ведущих в соответствующую точку (рис.[math]2[/math]) [math]C_{n,m} = c_{n+m, n} = \binom{n+m}{m}[/math]. Тогда производящая функция будет иметь вид

[math]\sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} C_{n, m} x^n y^m = \sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} \binom{n}{k} x^n y^m = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \sum\limits_{n + m = k} \binom{n}{k} x^n y^m = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (x + y)^k = \dfrac{1}{1 -x - y}[/math]

Также существует еще один способ: сопоставить треугольнику Паскаля экспоненциальную производящую функцию. Экспоненциальная производящая функция отличается от обычной тем, что в качестве коэффициентов степенного ряда берутся не элементы последовательности [math]a_n[/math], а числа [math]\dfrac{a_n}{n!}[/math].

Экспоненциальные производящие функции

Зафиксируем произвольную последовательность [math]\{ \alpha_n \}[/math]. Каждой последовательности [math]\{ \alpha_n \}[/math] мы можем сопоставить производящую функцию

[math]\{ \alpha_n \} \mapsto \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n \alpha_n s^n[/math]

определяемую последовательностью [math]\{ \alpha_n \}[/math]. Если в последовательности [math]\{ \alpha_n \}[/math] отсутствуют нулевые элементы, то такое сопоставление взаимно однозначно. До сих пор мы пользовались обычными производящими функциями, отвечающими последовательности [math]\{ \alpha_n \} \equiv 1[/math]. В зависимости от преследуемых целей могут принести и другие последовательности.

Определение:

Производящие экспоненциальные функции (англ. exponential generating function) — функции, соответсвующие последовательности [math]\{ \alpha_n \} = \dfrac{1}{n!}[/math].

Определение:

Экспоненциальные производящие функции для целочисленных последовательностей называют функциями Гурвица (англ. Hurwitz function).

Чем отличаются экспоненциальные производящие функции от обычных? Посмотрим на поведение экспоненциальных производящих функций при выполнении операции над ними. Сумма ведет себя обычным образом:

[math]\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{a_n}{n!}s^n + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{b_n}{n!}s^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(a_n + b_n)}{n!} s^n[/math]

а с произведением по-другому:

[math]\bigg(\dfrac{a_0}{0!} + \dfrac{a_1}{1!}s + \dfrac{a_2}{2!}s^2 + \ldots\bigg)\bigg(\dfrac{b_0}{0!} + \dfrac{b_1}{1!}s + \dfrac{b_2}{2!}s^2 + \ldots\bigg) = \dfrac{a_0}{0!} \dfrac{b_0}{0!} + \bigg(\dfrac{a_0}{0!} \dfrac{b_1}{1!} + \dfrac{a_1}{1!} \dfrac{b_0}{0!}\bigg)s + \bigg(\dfrac{a_0}{0!} \dfrac{b_2}{2!} + \dfrac{a_1}{1!} \dfrac{b_1}{1!} + \dfrac{a_2}{2!} \dfrac{b_0}{0!}\bigg)s^2 + \ldots[/math]

Коэффициенты [math]\dfrac{c_n}{n!}[/math] произведения вычисляются по формуле

[math]c_n = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} a_0 b_n + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} a_1 b_{n - 1} + \ldots + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} a_n b_0[/math]

Еще одно существенное отличие экспоненциальных производящих функций от обычных наблюдается при взятии производных и при интегрировании. Дифференцирование или интегрирование экспоненциальной производящей функции приводит к сдвигу последовательности ее коэффициентов без изменения их величины:

[math]\bigg( \dfrac{a_0}{0!} + \dfrac{a_1}{1!}s + \dfrac{a_2}{2!}s^2 + \ldots \bigg)^{'} = \dfrac{a_1}{0!} + \dfrac{a_2}{1!}s + \dfrac{a_3}{2!}s^2 + \ldots [/math]

[math]\int \bigg(\dfrac{a_0}{0!} + \dfrac{a_1}{1!}s + \dfrac{a_2}{2!}s^2 + \ldots \bigg) = \dfrac{a_0}{1!}s + \dfrac{a_1}{2!}s^2 + \dfrac{a_2}{3!}s^3 + \dfrac{a_3}{4!}s^4 + \ldots [/math]

Обычная производящая функция [math]A(s) = a_0 + a_1s + a_2s^2 + \ldots[/math] выражается через экспоненциальную [math]B(t) = \dfrac{a_0}{0!} + \dfrac{a_1}{1!}t + \dfrac{a_2}{2!}t^2 + \ldots [/math] по формуле

[math]A(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} B(st) dt[/math]

Действительно,

[math]k! = \int_{0}^{\infty} e^{-t}t^kdt[/math]

Теперь можно выписать экспоненциальную производящую функцию для треугольника Паскаля:

[math]\sum\limits_{n, m = 0}^{\infty} \dfrac{1}{(n + m)!} \begin{pmatrix} n + m \\ m \end{pmatrix} x^n y^m = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(x + y)^n}{n!} = e^{x + y}[/math]

Многочлены Бернулли

Для начала введен операцию усреднения, положив

[math]A(f(x)) = \int\limits_{x}^{x+1}f(t)dt[/math].

Нетрудно заметить, что эта операция переводит многочлены в многочлены: она линейна, т.е. [math]A(a_1f_1 + a_2f_2) = a_1A(f_1) + a_2A(f_2)[/math] для любых постоянных [math]a_1, a_2[/math] и любых многочленов [math]f_1, f_2[/math], а ее значение на мономе [math]x^n[/math] равно

[math]A(x^n) = ((x + 1)^{n+1} - x^{n+1}) / (n+1) = x^n + \ldots[/math],

где многоточие обозначает слагаемые, степени которых меньше [math]n[/math]. Последняя формула показывает также, что преобразование [math]A[/math] переводит пространство многочленов степени не выше [math]n[/math] в себя, а значит, является линейным оператором в этом пространстве. Этот оператор обратим. Действительно, любой многочлен степени не выше [math]n-1[/math] может быть получен в результате усреднения многочлена такой же степени, и, используя последнюю формулу, мы заключаем, что и любой многочлен степени не выше [math]n[/math] является результатом усреднения некоторого многочлена степени не выше [math]n[/math]. Отметим, что при усреднении степень многочлена сохраняется.

Определение:

Многочленом Бернулли (англ. Bernoulli polynomial) степени [math]n[/math] называется многочлен [math]B_n(x)[/math], результатом усреднения которого служит моном [math]x^n[/math], т.е. [math]B_n(x) = A^{-1}(x^n)[/math].

Первые многочлены Бернулли нетрудно сосчитать:

[math]B_0(x) = 1[/math]

[math]B_1(x) = x - \dfrac{1}{2}[/math]

[math]B_2(x) = x^2 -x + \dfrac{1}{6}[/math]

[math]B_3(x) = x^3 - \dfrac{3}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}x[/math]

[math]B_4(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - \dfrac{1}{30}[/math]

[math]B_5(x) = x^5 - \dfrac{5}{2}x^4 + \dfrac{5}{3}x^3 - \dfrac{1}{6}x[/math]

[math]B_6(x) = x^6 - 3x^5 + \dfrac{5}{2}x^4 - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{42}[/math]

Теорема (Экспоненциальная производящая функция для многочленов Бернулли):

Экспоненциальная производящая функция для многочленов Бернулли имеет вид: [math]\mathcal{B}(x, s) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}B_n(x)\dfrac{s^n}{n!} = \dfrac{s}{e^s - 1}e^{sx}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для доказательства теоремы достаточно применить операцию усреднения к левой и правой частям равенства. С одной стороны, мы имеем: [math]A(B(x, s)) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}A(B_n(x))\dfrac{s^n}{n!} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\dfrac{s^n}{n!} = e^{xs}[/math]. С другой стороны, имеем: [math]A(\dfrac{s}{e^s - 1}e^{sx}) = \dfrac{s}{e^s-1}A(e^{sx}) = \dfrac{s}{e^s-1}\dfrac{1}{s}(e^{s(x+1)} - e^{sx}) = e^{sx}[/math], и теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Определим теперь числа Бернулли как значения многочленов Бернулли в нуле. Вот начало последовательности чисел Бернулли:

[math]1, -\dfrac{1}{2}, 0, \dfrac{1}{6}, -\dfrac{1}{30}, \dfrac{1}{42}, 0, -\dfrac{1}{30}, \dfrac{5}{66}, 0, -\dfrac{691}{2730}, 0, \ldots [/math]

Доказанная теорема позволяет нам легко выписать экспоненциальную производящую функцию для чисел Бернулли. Для этого достаточно подставить в экспоненциальную производящую функцию для многочленов Бернулли значение [math]x = 0[/math]:

[math]\sum\limits_{n=0} B_n\dfrac{s^n}{n!} = \dfrac{s}{e^s - 1}[/math].

См. также

• Производящая функция

Источники информации

• Ландо С. К., Лекции о производящих функциях. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2007. — 57с. ISBN 978-5-94057-042-4