Асимптотика гипергеометрических последовательностей
Определение: |
Пусть у нас есть последовательность, отношение соседних членов которой равно отношению двух многочленов одинаковой степени. Если же степени многочленов больше нуля, то соответствующую последовательность называют гипергеометрической. |
Вычисление асимптотики
Лемма: |
Пусть последовательность положительных чисел такова, что для всех достаточно больших , причем . Тогда растет как для некоторой постоянной . |
Доказательство: |
Утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел Для доказательства существования предела применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна[1]. Фундаментальность последовательности означает, что для любого существует такой номер , что для всех и всех положительных
или
Перепишем отношение в виде, где
Прологарифмировав отношение , получаем. Посмотрим на функцию . Выпишем начальные члены разложения функции в ряд в точке :для некоторой константы . Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент (отличный от нуля по предположению леммы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя в асимптотике. Для логарифма функции имеем
Поэтому для некоторой постоянной при достаточно маленьком имеем . В частности, если достаточно велико, то, ,
. Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства (*) можно оценить с помощью системы и неравенства треугольника[2]:
. Поскольку ряд сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции на отрезке ,
|
Замечание: Предположения леммы не позволяют определить величину константы c. Действительно, умножив последовательность
на произвольную постоянную , мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа для которой увеличивается в разПримеры
Пример. Для чисел Каталана имеем
Поэтому
для некоторой постоянной .Пример. Найдем асимптотику коэффициентов для функции
, где вещественно. В ряде случаев эта асимптотика нам уже известна, например, при . Согласно определению функции имеем.
Если
— целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае начиная с некоторого номера все коэффициенты ряда имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться леммой при
Поэтому чисел Каталана.
. Например, коэффициенты функции ведут себя как , и мы получаем повторный вывод ассимптотики для