Карлукова M32342 временная статья

Примечание: в редактируемой статье указано, что достаточно рассматривать [math]q_0=1[/math]. :)

Теорема о связи этих понятий

Теорема:

Последовательность [math]a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots [/math] является линейной рекуррентной последовательностью с [math]k[/math] первыми заданными членами, определяемыми коэффициентами [math]c_1, c_2, \ldots, c_k[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] её производящая функция [math]A(t)[/math] является дробно-рациональной, причём представимой в виде [math]A(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}[/math], где [math]Q(t) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k[/math], [math]deg(P) \lt k[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math] Пусть [math]c_1, c_2, \ldots, c_k[/math] — коэффициенты, задающие линейную рекуррентную последовательность [math]a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots [/math], то есть первые [math]k-1[/math] членов заданы, а для следующих справедливо соотношение [math]a_n = \sum\limits_{i = 1}^k c_i \cdot a_{n - i}[/math]. Напишем друг под другом несколько производящих функций и соответствующих им формальных степенных рядов: [math]A(t) = a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots + a_k \cdot t^k + \ldots + a_n \cdot t^n + \ldots[/math] [math]-c_1 \cdot t \cdot A(t) = 0 - c_1 \cdot a_0 \cdot t - c_1 \cdot a_1 \cdot t^2 - \ldots - c_1 \cdot a_{k - 1} \cdot t^k - \ldots - c_1 \cdot a_{n - 1} \cdot t^n - \ldots[/math] [math]-c_2 \cdot t^2 \cdot A(t) = 0 + 0 - c_2 \cdot a_0 \cdot t^2 - \ldots - c_2 \cdot a_{k - 2} \cdot t^k - \ldots - c_2 \cdot a_{n - 2} \cdot t^n - \ldots[/math] [math]\cdots[/math] [math]-c_k \cdot t^k \cdot A(t) = 0 + 0 + 0 + \ldots +0-c_k \cdot a_0 \cdot t^k - \ldots - c_k \cdot a_{n - k} \cdot t^n + \ldots[/math] Сложим все равенства и получим [math]A(t) \cdot (1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k) = a_0 + (a_1 - c_1 \cdot a_0) \cdot t + (a_2 - c_1 \cdot a_1 - c_2 \cdot a_0) \cdot t^2 + \ldots + \\ + (a_{k - 1} - \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} c_i \cdot a_{k - 1 - i}) \cdot t^{k - 1} + (a_k - \sum\limits_{i = 1}^k c_i \cdot a_{k - i}) \cdot t^k + \ldots + (a_n - \sum\limits_{i = 1}^k c_i \cdot a_{n - i}) \cdot t^n + \ldots[/math] Для всех [math]n \geqslant k[/math] выполняется равенство [math]a_n = \sum\limits_{i = 1}^k c_i \cdot a_{n - i}[/math], поэтому в правой части все коэффициенты при степенях, начиная с [math]k[/math], обнулятся, а равенство будет выглядеть следующим образом: [math]A(t) \cdot (1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k) = a_0 + (a_1 - c_1 \cdot a_0) \cdot t + (a_2 - c_1 \cdot a_1 - c_2 \cdot a_0) \cdot t^2 + \ldots + (a_{k - 1} - \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} c_i \cdot a_{k - 1 - i}) \cdot t^{k - 1}[/math]. Заметим, что второй множитель в левой части равен в точности [math]Q(t)[/math], а степень правой части не превосходит [math]k-1[/math]. Получили требуемое построение. Многочлен [math]P(t)[/math] можно найти по формуле [math]A(t) \cdot Q(t)[/math] как числитель получившейся дроби. К результату можно применить взятие его по модулю [math]t^k[/math]. Это действие не испортит многочлен, так как его степень строго меньше [math]k[/math]. При этом мы сократим число операций при вычислении [math]P(t)[/math], поскольку достаточно найти только [math]k[/math] первых членов результирующего ряда, а для этого можно обойтись только первыми [math]k[/math] слагаемыми степенных рядов, соответствующих производящим функциям [math]A(t)[/math] и [math]Q(t)[/math]. Итак, [math]P(t) = A(t) \cdot Q(t) \mathrm{ mod } t^k[/math]. [math]\Leftarrow[/math] Пусть [math]A(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}[/math], [math]Q(t) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k \cdot t^k[/math], [math] deg(P) \lt k[/math]. Перепишем первое равенство, выразив [math]P(t)[/math] через [math]A(t)[/math] и [math]Q(t)[/math]: [math]P(t) = A(t) \cdot Q(t)[/math]. Так как [math]deg(P) \lt k[/math], выполнено [math]p_n = 0[/math] для любого [math]n \geqslant k [/math]. Расписывая [math]p_n[/math] по определению произведения степенных рядов, получаем [math]p_n = \sum\limits_{i = 0}^n a_{n-i} \cdot q_{i} = 0[/math]. Разобьём полученную сумму на две: [math]p_n = \sum\limits_{i = 0}^{k} a_{n-i}\cdot q_{i} + \sum\limits_{i = k+1}^n a_{n-i}\cdot q_{i}[/math]. Так как [math] Q(t)[/math] известно, можем определить, чему равны эти суммы. Для первой выполняются равенства: [math] q_0 = 1[/math], [math] q_i = -c_i[/math] для всех [math] i[/math] за исключением нуля. Вторая же компонента равна нулю, поскольку [math]deg(Q) = k[/math]. Тогда [math]p_n = a_n + \sum\limits_{i = 1}^k a_{n-i} \cdot (-c_{i}) = a_n - \sum\limits_{i = 1}^k a_{n-i} \cdot c_{i} = 0[/math]. Развернём выражение для [math]p_n[/math]: [math] a_n - \sum\limits_{i = 1}^k a_{n-i} \cdot c_{i} = a_n - a_{n-1} \cdot c_1 - \ldots - a_{n-k} \cdot c_k = 0[/math]. Перенесём все слагаемые, кроме [math]a_n[/math], вправо: [math] a_n = a_{n-1} \cdot c_1 + a_{n-2} \cdot c_2 + \ldots + a_{n-k} \cdot c_k[/math]. Видим, что [math]a_n[/math] — член линейной рекуррентной последовательности, заданной коэффициентами [math]c_1, c_2, \ldots, c_k[/math], причём это выполнено для всех [math]n \geqslant k [/math], так как индекс [math]n[/math], удовлетворяющий данному условию, выбирался произвольно.

[math]\triangleleft[/math]

Примеры

Представление в виде отношения многочленов производящей функции для последовательности чисел Фибоначчи

Введём обозначения:

[math]F(t)[/math] — производящая функция для чисел Фибоначчи, [math]f_n = [t^n]F(t)[/math].

Последовательность задаётся следующим образом: [math]f_0 = f_1 = 1[/math],

[math]f_n = f_{n-1} + f_{n-2}[/math], [math]n \geq 2[/math].

Здесь [math]k=2[/math] и [math]c_1 = c_2 = 1[/math], следовательно [math]Q(t) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2[/math]. К числителю применим формулу [math]P(t) = F(t) \cdot Q(t) \mathrm{mod} t^2[/math]. Чтобы получить ответ, требуется найти всего лишь [math]p_0[/math] и [math]p_1[/math].

[math]p_0 = f_0 \cdot q_0 = 1 \cdot 1 = 1[/math], [math]p_1 = f_0 \cdot q_1 + f_1 \cdot q_0 = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0[/math].