Дифференциал и производная

Определение

Пусть функция [math]f[/math] определена в некоторой окрестности точки [math]x[/math]. Тогда обозначим [math]\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)[/math].

Очевидно тогда, что [math]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = 0[/math].

С целью более подробного изучения [math]\Delta y[/math] она линеаризуется по [math]x[/math]. Отсюда возникает понятие дифференциала.

Определение:

[math]f[/math] дифференцируема в точке [math]x[/math], если [math]\Delta y = A(x) \Delta x + o(\Delta x)[/math], где [math]o(\Delta x)[/math] — такая величина, что [math]\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0[/math] при [math]\Delta x \to 0[/math]. Тогда [math]A(x)\Delta x[/math] называют дифференциалом в точке [math]x[/math]. Также обозначают [math]A(x) \Delta x = df(x, \Delta x) = dy[/math].

Утверждение:

Функция дифференцируема [math]\iff \, \exists \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x)[/math].

[math]\triangleright[/math]

Если функция дифференцируема, то [math]\frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}[/math], где [math]\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}[/math] — бесконечно малая.

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}[/math]

Проблему дифференцирования сводят к проблеме существования производных, поэтому для функций одной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной ([math]dy = f'(x)\Delta x[/math]). Однако, это верно только для функций одной переменной.

Легко понять, что если функция дифференцируема, то она непрерывна в этой точке. Однако, обратное может быть неверно. Например, функция [math]y = |x|[/math] в точке [math]x = 0[/math]. В этой точке у неё нет производной, значит, она не дифференцируема.

Стандартные арифметические свойства производной

1. [math](f + g)' = f' + g'[/math]
2. [math](fg)' = f'g + g'f[/math]
3. [math]\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}[/math]

Докажем, например, второе свойство.

Утверждение:

[math](fg)' = f'g + g'f[/math]

[math]\triangleright[/math]

[math]\Delta(fg) = (f + \Delta f)(g + \Delta g) - fg = \Delta fg + f \Delta g + \Delta f \Delta g \\ (fg)' = \frac{\Delta(fg)}{\Delta x} = \frac{\Delta fg}{\Delta x} + \frac{f \Delta g}{\Delta x} + \frac{\Delta f \Delta g}{\Delta x} = f'g + g'f [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Дифференцируемость сложной функции

Большое значение имеет правило дифференцирование сложной функции.

То, что из дифференцируемости следует непрерывность позволяет доопределить по непрерывности [math]\Delta x = 0[/math] и считать, что [math] o(\Delta x) = \left\{ \begin{aligned} 0 & ,{\,} \Delta x = 0\\ o(\Delta x) & ,{\,} \Delta x \ne 0\\ \end{aligned}\right. [/math]. Это мотивировано непрерывностью функции в точке [math]x[/math].

Теорема (Дифференцирование сложной функции):

Пусть [math]y = f(x)[/math] дифференцируема в точке [math]x_0[/math], [math]y_0 = f(x_0)[/math]. Пусть [math]z = g(y)[/math] дифференцируема в [math]y_0[/math]. Тогда в некоторой окрестности [math]x_0[/math] корректно определена сложная функция [math]z = g(f(x))[/math] и её производная равна [math]z' = g'(y_0)f'(x_0)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По определению дифференциала [math]\Delta z = g(y_0 + \Delta y) - g(y_0) = g'(y_0)\Delta y + o(\Delta y)[/math] и [math]\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x)[/math] [math]g[/math] определена в окрестности точки [math]y_0[/math]. Так как [math]\Delta y \to 0[/math] при [math]\Delta x \to 0[/math] и [math]y_0 = f(x_0)[/math], то при [math]\Delta x \to 0[/math], [math]f(x_0 + \Delta x)[/math] принадлежит окрестности точки [math]y_0[/math]. Тогда функция [math]z = g(f(x))[/math] при [math]x = x_0 + \Delta x, \ \Delta x \to 0[/math] корректно определена. [math]\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)[/math] [math]\Delta g = g(f(x_0) + (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))) - g(f(x_0)) = [/math] [math]g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = [/math] (по определению дифференциала для [math]g(y)[/math]) [math]g'(y_0)(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) + o(\Delta y) =[/math] (по определению дифференциала для [math]f(x)[/math]) [math]g'(y_0)f'(x_0)\Delta x+ g'(y_0) o(\Delta x) + o(\Delta y)[/math] Итого получаем: [math]\Delta g = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x + g'(y_0)o(\Delta x) + o(\Delta y)[/math] Устремляя [math]\Delta x \to 0[/math], получаем [math]dz = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x[/math] Для полного счастья осталось доказать, что [math]o(\Delta x) = o(\Delta y)[/math]. Утверждение: [math]o(\Delta x) = o(\Delta y)[/math] [math]\triangleright[/math] По определению [math]o(\Delta y)[/math], получаем: [math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 : \ |\Delta y| \lt \delta \Rightarrow \left|\frac{o(\Delta y)}{\Delta y}\right| \leq \varepsilon[/math] Последнее неравенство равносильно следующему: [math]|o(\Delta y)| \leq \varepsilon |\Delta y|[/math] [math]\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) = \Delta x(f'(x_0) + o(1)) [/math], где [math]o(1) = \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}[/math], что стремится к [math]0[/math]. Из всего этого следует, что при [math]\Delta x \to 0[/math], [math]\Delta y \to 0[/math] для имеющегося [math]\delta \gt 0[/math]. Так как [math]f(x)[/math] — непрерывна, то существует [math]\delta_1 \gt 0: \ |\Delta x| \lt \delta_1 \Rightarrow |\Delta y| \lt \delta \Rightarrow |o(\Delta y)| \lt \varepsilon |\Delta y| = \varepsilon \Delta x |f'(x_0) + o(1)| [/math]. Тогда получаем, что [math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta_1 \gt 0: \ |\Delta x| \lt \delta_1 \Rightarrow o(\Delta y) \leq M \varepsilon |\Delta x| \Rightarrow o(\Delta y) = o(\Delta x) [/math], где [math]M = |f'(x_0) + o(1)|[/math]. [math]\triangleleft[/math]

[math]\triangleleft[/math]