Теорема Редеи-Камиона

Теорема (Теорема Редеи-Камиона для пути):

В любом турнире есть гамильтонов путь.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем,что в любом турнире есть гамильтонов путь по индукции по числу вершин [math]n[/math]. База индукции: Очевидно, для [math]n = 3[/math] утверждение верно. Индукционный переход: Предположим, что теорема верна для всех турниров с [math]n[/math] вершинами. Рассмотрим турнир [math]T[/math] с [math]n + 1[/math] вершинами. Пусть [math]v_0[/math] – произвольная вершина турнира [math]T[/math]. Тогда турнир [math]T[/math] – [math]v_0[/math] имеет [math]n[/math] вершин, значит, в нем есть гамильтонов путь [math]P[/math]: [math]v_1v_2...v_n[/math] . Одно из ребер ( [math]v_0[/math], [math]v_1[/math] ) или ( [math]v_n[/math], [math]v_0[/math] ) обязательно содержится в [math]T[/math]. --> Рассмотрим 3 случая: Ребро [math] ( v_0, v_1 ) \in T [/math]. Тогда путь [math]v_0v_1v_2...v_n[/math] является гамильтоновым. Ребро [math] ( v_0, v_1 ) \notin T [/math]. Обозначим через [math]v_i[/math] первую вершину пути [math]P[/math], для которой ребро [math] ( v_0, v_i ) \in T [/math],если такая вершина есть. Тогда в [math]T[/math] существует ребро ( [math]v_{i-1}[/math], [math]v_0[/math] ) и путь [math]v_1...v_{i-1}v_0v_i...v_n[/math]– гамильтонов. Если такой вершины [math]v_i[/math] нет, тогда гамильтоновым путем будет [math]v_1v_2...v_nv_0[/math]. Итак, в любом случае в турнире существует гамильтонов путь.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Теорема Редеи-Камиона для цикла):

В любом сильно связанном турнире есть гамильтонов цикл.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем, что в любом сильно связанном турнире есть гамильтонов цикл, по индукции по длине цикла. База индукции: Покажем, что в любом сильно связанном турнире [math]T[/math] с [math]n[/math] вершинами [math]n \ge 3[/math] есть орцикл длины 3. Выберем произвольную вершину [math]v_0[/math] и обозначим через [math]W[/math] множество всех вершин [math]w[/math], таких, что ребро [math](v_0, w) \in T [/math], а через [math]Z[/math] – множество всех вершин [math]z[/math], таких, что ребро [math](z, v_0) \in T [/math]. Так как [math]T[/math] сильно связан, то оба множества [math]W[/math] и [math]Z[/math] не пусты и найдется ребро [math](w', z') \in T [/math] , где [math]w' \in W, z' \in Z[/math]. Тогда искомым циклом длины 3 будет [math]v_0[/math],[math]w'[/math],[math]z'[/math],[math]v_0[/math]. Индукционный переход: Покажем, что если турнир [math]T[/math] с [math]n[/math] вершинами имеет орцикл [math]S = v_1v_2...v_kv_1[/math] длины [math]k \lt n[/math], то он имеет также орцикл длины [math]k + 1[/math]. Рассмотрим 2 случая: Существует такая вершина [math]v_0 \notin S [/math] такая, что найдутся вершины [math]u , w \in S[/math] , такие, что ребра [math] (v_0 , u) , (w , v_0) \in T [/math]. Обозначим за [math]v_1[/math] вершину из [math]S[/math], такую, что ребро [math] ( v_1, v_0 ) \in T [/math]. Пусть [math]v_i[/math] – первая вершина при обходе контура [math]S[/math] из [math]v_1[/math], для которой ребро [math] ( v_0, v_i ) \in T [/math]. Тогда ребро [math](v_{i-1}, v_0)[/math] также содержится в [math]T[/math]. Поэтому [math]v_1v_2...v_{i-1}v_0v_i...v_kv_1[/math] – искомый орцикл длины [math]k+1[/math]. Пусть такой вершины [math]v_0[/math] нет. Тогда разобьем вершины, не принадлежащие [math]S[/math], на два непересекающихся подмножества [math]W[/math] и [math]Z[/math], где [math]W[/math] - множество таких вершин [math]w[/math] , что ребро [math](v_i, w)[/math] для любого [math]i[/math] содержится в [math]T[/math], а [math]Z[/math] – множество таких вершин [math]z[/math], что ребро [math](z, v_i)[/math] для любого [math]i[/math] содержится в [math]T[/math]. Так как [math]T[/math] сильно связан, то оба множества [math]W[/math] и [math]Z[/math] не пусты и найдется ребро [math] (w', z') \in T [/math] , где [math]w' \in W , z' \in Z[/math]. Тогда [math]v_1 w' z' v_3...v_k v_1[/math] – требуемый орцикл. Таким образом в любом сильно связанном турнире [math]T[/math] с [math]n[/math] вершинами будет орцикл длины [math]n[/math], то есть гамильтонов цикл.

[math]\triangleleft[/math]

Следствие

Турнир является сильно связанным тогда и только тогда, когда он имеет гамильтонов цикл.

Литература

• Харари, Ф. Теория графов. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009