Жадный алгоритм поиска базы минимального веса

Теорема (жадный алгоритм поиска базы минимального веса):

Пусть на носителе матроида [math]M = \lt X, I\gt [/math] задана весовая функция [math]\omega: X \to \mathbb R[/math]. Для любого [math]A \subset X[/math] выполнено: [math]\omega(A) = \sum\limits _{x \in A} \omega(x)[/math]. Тогда база минимального веса матроида [math]M[/math] ищется жадно.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Псевдокод алгоритма: [math]B \leftarrow \emptyset[/math] while ([math]\exists x \notin B: B \cup x \in I[/math]): [math]y \leftarrow ArgOf(\min\limits _{x \notin B: B \cup x \in I} \omega(x))[/math] [math]B \leftarrow B \cup y[/math] Понятно, что все базы имеют одинаковую мощность (иначе в меньшую можно было бы добавить элемент из большей по аксиоме матроидов, что противоречит определению базы). По теореме Радо-Эдмондса множество минимального веса, имеющее мощность базы, (то есть база минимального веса) ищется последовательным добавлением в изначально пустое множество элементов из [math]X[/math] так, чтобы после каждого добавления множество оставалось независимым.

[math]\triangleleft[/math]