| Определение: |
| Язык [math]L[/math] называется разрешимым (рекурсивным), если существует такая программа [math] p [/math], что [math] \forall w \in L: p(w) = 1[/math], а для [math] \forall w \notin L: p(w) = 0[/math]. |
Пример разрешимого множества
| Утверждение: |
Язык чётных чисел разрешим. |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Приведём программу, разрешающую язык чётных чисел:
[math]p(i)[/math]
if [math] (i \ mod \ 2 == 0) [/math]
return [math] 1 [/math]
else
return [math] 0 [/math]
Заметим, что программа нигде не может зависнуть. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Пример неразрешимого множества
| Определение: |
| Язык [math]\ U = \{\langle p, x \rangle \ |\ p(x) = 1\} [/math] называется универсальным. |
| Утверждение: |
Универсальный язык неразрешим. |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Доказательство от противного.
Пусть язык [math] U [/math] разрешим.
Тогда существует такая программа [math] u [/math], что [math] \forall \langle p, x \rangle \in U: u(\langle p, x \rangle) = 1[/math], а для [math] \forall \langle p, x \rangle \notin U: u(\langle p, x \rangle) = 0[/math].
Составим следующую программу:
[math]r(x)[/math]
if [math] u(\langle x, x \rangle) == 1 [/math]
while [math] true [/math]
else
return [math] 1 [/math]
Теперь рассмотрим вызов [math] r(r) [/math].
- Если [math] u(\langle r, r \rangle) = 1 [/math], то условие if выполнится и программа зависнет. Но так как программа [math] u [/math] разрешает универсальный язык, [math] u(\langle r, r \rangle) = 1 \Rightarrow r(r) = 1[/math].
- Если [math] u(\langle r, r \rangle) = 0 [/math], то условие if не выполнится и программа вернет [math]1[/math]. Но так как программа [math] u [/math] разрешает универсальный язык, [math] u(\langle r, r \rangle) = 0 \Rightarrow r(r) \ne 1[/math].
Таким образом, из предположения о разрешимости универсального языка мы пришли к противоречию. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Литература
Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. -- М.: МЦНМО, 1999
