Теоремы Карзанова о числе итераций алгоритма Диница в сети с целочисленными пропускными способностями

Определение:

Пусть [math]N = (V,E,s,t,c)[/math] - сеть с целочисленными пропускными способностями. Обозначим [math]C[/math] и [math]F[/math], как максимальная пропускная способность ребра и максимальный поток соответсвенно. [math]c^{+}(v) = \sum\limits_{uv \in E} c_{uv}[/math]. [math]c^{-}(v) = \sum\limits_{vu \in E} c_{vu}[/math]. [math]p(v) = min\big\{c^{+}(v), c^{-}(v)\big\}[/math] - потенциал вершины [math]v[/math]. Тогда общий потенциал выражается формулой: [math]P = \sum\limits_{v \in V, v \neq s,t}p(v)[/math]. Остаточную сеть обозначим [math]N(f)[/math]. Обозначим длину слоистой сети [math]l[/math] - как длину кратчайшего [math]s-t[/math] пути в [math]N(f)[/math].

Лемма (1):

Пусть [math]l[/math] - расстояние между [math]s[/math] и [math]t[/math] в сети с текущим потоком, равным 0, и максимальным потоком, равным [math]F[/math]. Тогда [math]l \leq \frac{P}{F} + 1[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]l[/math] - расстояние между [math]s[/math] и [math]t[/math], а [math]V_i[/math] - набор вершин, удаленных от [math]s[/math] на [math]i[/math] [math](i \leq l)[/math]. [math]V_i[/math] - разъединяющее множество узлов: при его удалении исчезают все направлнные пути из [math]s[/math] в [math]t[/math]. Следуя правилу сохранения потока, если [math]f[/math] обозначить как любой допустимый поток, то [math]|f|[/math] единиц потока должно проходить через [math]V_i[/math]. Но суммарное количество потока, которое может проходить через любую вершину не превосходит ее потенциала. Отсюда, если обозначить [math]P_i[/math] как общий потенциал вершин из [math]V_i[/math], то мы имеем: [math]|f| \leq P_i[/math] для любого допустимого потока [math]f[/math]. В частности, [math]F \leq P_i[/math], таким образом получаем: [math](l - 1)F \leq \displaystyle \sum_{i = 1}^{l - 1} P_i \leq P[/math] и лемма доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (2):

Пусть [math] N [/math] - сеть, а [math]f[/math] - допустимый поток в этой сети. Тогда общий потенциал в остаточной сети [math]N(f)[/math] равен общему потенциалу [math]N[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]c_f[/math] - функция пропускных способностей в [math]N(f)[/math], а [math]p_f(v), in_f(v), out_f(v)[/math] - потенциал, множество входящих ребер и множество выходящих ребер вершины [math]v[/math] из [math]N(f)[/math]. Достаточно доказать, что [math]p_f(v) = p(v)[/math]. Ребру [math]e[/math] из [math]in(v)[/math] соответствуют ребро [math]e_1[/math] из [math]in_f(v)[/math] с пропускной способностью [math]c(e) - f(e)[/math], и ребро [math]e_2[/math] из [math]out(v)[/math] с пропускной способностью [math]f(e)[/math]. Аналогично, ребру [math]e[/math] из [math]out(v)[/math] соответствуют ребра из [math]out_f(v)[/math] с пропускной способностью [math]c(v) - f (v)[/math] и [math]in_f(v)[/math] с пропускной способностью [math]f(e)[/math]. Используя правило сохранения потока, нетрудно проверить, что [math]\displaystyle\sum_{e\in in_f(v)} c_f(e) = \sum_{e\in in(v)}c(e)[/math] и [math]\displaystyle\sum_{e\in out_f(v)} c_f(e) = \sum_{e\in out(v)}c(e)[/math] что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Первая теорема Карзанова):

Число итераций алгоритма Диница в сети [math]N[/math] ([math]s[/math], [math]t[/math] - исток и сток, соответственно.) с целочисленными пропускными способностями - [math]O(\sqrt{P})[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]F[/math] - максимальный поток в сети [math]N[/math]. Теорема верна для [math]F \leq \sqrt{P}[/math], так как после каждой фазы поток увеличивается хотя бы на 1. Если [math]F \gt \sqrt{P}[/math], рассмотрим последнюю фазу, на момент начала выполнения которой поток в сети был меньше, чем [math]F - \sqrt{P}[/math]. После этого потребуется не больше [math]\sqrt{P}[/math] фаз, чтобы найти максимальный поток. На предыдущей фазе поток ([math]f[/math]) в [math]N[/math] был не больше [math]F-\sqrt{P}[/math], таким образом [math]F-|f| \leq \sqrt{P}[/math]. [math]N(f)[/math] - сеть с максимальным потоком [math]F-|f|[/math] и потенциалом [math]P[/math] (по Лемме(2)). Поэтому мы можем использовать Лемму(1) чтобы оценить расстояние между [math]s[/math] и [math]t[/math] в [math]N(f)[/math]. Отсюда получаем оценку длины ([math]l[/math]) слоистой сети: [math]l \leq \frac{P}{F-|f|} + 1[/math] Так как каждая фаза увеличивает длину слоистой сети минимум на один, то осуществляется не больше [math]\sqrt{P}[/math] фаз. Таким образом происходит не более [math]2\sqrt{P}[/math] фаз.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Вторая теорема Карзанова):

Число итераций алгоритма Диница в сети [math]G[/math] ([math]s[/math], [math]t[/math] - исток и сток, соответственно.) с целочисленными пропускными способностями меньше [math]c_{max}[/math] - [math]O(\sqrt[3]{{|V|}^2 c_{max}})[/math].