Теорема Фубини

<<

Цель этого параграфа — установить формулу:

[math] \int\limits_{E \subset \mathbb R^2} f(x_1, x_2) d \lambda_2 = \int\limits_R d \lambda_1 \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d \lambda_1 [/math],

где [math] E(x_1) [/math] — сечение множества [math] E [/math] вертикальной прямой, проходящей через точку [math] x_1 [/math] ([math] E(x_1) = \{ x_2 \in \mathbb R : (x_1, x_2) \in E \} [/math]).

Для некоторых [math] x_1, E(x_1) [/math] может быть пусто.

Сейчас мы сформулируем и докажем теорему, истоком которой является «метод неделимых» Кавальери. [math] S [/math] - площадь. [math] l [/math] - длина. [math] S(E_2) = \int\limits_a^b l(E(x_1)) d x_1 [/math] . Аналог этой формулы уже встречался нам в геометрических приложениях определенного интеграла.

Теорема:

Пусть [math] E \subset \mathbb R^2, \lambda_2 E \lt + \infty [/math] Тогда: [math] \forall x_1 \in \mathbb R : E(x_1) [/math] — измеримое множество. [math] \lambda_1(E(x_1)) [/math] — измеримая на [math] \mathbb R [/math] функция. [math] \lambda_2(E) = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Схема доказательства — такая же, как и с формулой меры подграфика функции — от простого к сложному. 1) [math] E = [a, b] \times [c, d] [/math]. [math] E(x_1) = \begin{cases} [c, d] &, x_1 \in [a, b] \\ \varnothing &, x_1 \notin a, b] \end{cases} [/math] — измеримо. [math] \lambda(E(x_1)) = \begin{cases} d - c &, x_1 \in [a, b] \\ 0 &, x_1 \notin [a, b] \end{cases} [/math] — кусочно-постоянная функция на оси, суммируема. [math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = (b - a) (d - c) = \lambda_2 E [/math] Вместо замкнутого прямоугольника можно было рассматривать прямоугольник любого вида, в том числе и ячейку. 2) [math] G [/math] — открытое множество, [math] \lambda G \lt + \infty [/math]. [math] G = \bigcup\limits_n \Delta_n (x_1) [/math] , по 1) [math] \Delta_n (x_1) [/math] — измеримо, а не более, чем счётное объединение измеримых, измеримо. В силу сигма-аддитивности длины/меры Лебега, [math] \lambda_1(G(x_1)) = \sum\limits_n \lambda_1 (\Delta_n(x_1)) [/math]. Каждое слагаемое измеримо, поточечный предел измеримой функции измерим, значит, [math] \lambda_1 [/math] измеримо по [math] x_1 [/math]. [math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1(G(x_1)) dx = [/math] (т. Леви) [math] \sum\limits_n \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (\Delta_n (x_1)) d x_1 = \sum\limits_n \lambda_2 (\Delta_n) = \lambda_2 (G) [/math]. 3) [math] E [/math] — множество типа [math] G_\delta [/math] (не более, чем счётное пересечение открытых множеств). [math] E = \bigcap\limits_n G_n [/math] — открытое, [math] G_{n+1} \subset G_n [/math] ([math] E [/math] — измеримо). По сигма-аддитивности, [math] \lambda_2 E = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_2 (G_n)[/math]. [math]E(x_1) = \bigcap\limits_n G_n(x_1) [/math] — измеримо для любого [math] x_1 [/math]. [math] \lambda_1 (E(x_1)) = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_1 (G_n(x_1)) [/math] — тоже измеримо(как предел измеримой функции). По теореме Лебега о мажорируемой сходимости: [math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (G_n(x_1)) d x_1 [/math]. [math] \lambda_2 (G_n) \to \lambda_2(E) [/math] 4) [math] E [/math] — нульмерно. По этой теореме существует такое множество [math] K [/math] типа [math] G_\delta [/math], что [math] E \subset K [/math] и [math] \lambda_2 K = 0 [/math]. По доказанному выше, [math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 K(x_1) d x_1 = \lambda_2 K = 0 [/math], следовательно, так как [math] f [/math] неотрицательна почти всюду, а ее интеграл нулевой, [math] \lambda_1 K(x_1) = 0 [/math] для почти всех [math] x_1 [/math]. Но [math] E(x_1) \subset K(x_1) [/math] при каждом [math] x_1 [/math], и так как мера [math] \lambda_1 [/math] полна, то сечения [math] E(x_1) [/math] измеримы и [math] \lambda_1 E(x_1) = 0 [/math] для почти всех [math] x_1 [/math]. Отсюда по теореме ??? следует, что функция [math] \lambda_1 E(x_1) [/math] - измерима, а [math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 E(x_1) d x_1 = 0 = \lambda_2 E [/math]. TODO: WTF?? [math] E = G \setminus K, E \subset G, G [/math] типа [math] G_\delta, K [/math] — нульмерно ([math] \lambda_2 K = 0 [/math]), что и требовалось доказать 5) [math] E [/math] — произвольное измеримое множество. Подбираем множество [math] K [/math] типа [math] G_\delta [/math] так, чтобы [math] E \subset K [/math] и [math] \lambda_2(K \setminus E) = 0 [/math]. Тогда [math] E(x_1) = K(x_1) \setminus (K \setminus E)(x_1) [/math], а почти все сечения множества [math] K \setminus E [/math], по пункту 4, имеют меру 0. Следовательно, сечения [math] E(x_1) [/math] измеримы и [math] \lambda_1 E(x_1) = \lambda_1 K(x_1) [/math] для почти всех [math] x_1 [/math], функция [math] \lambda_1 E(x_1) [/math] измерима (почему?),а [math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 E (x_1) d x_1 = \int\limits_{\mathbb R} K(x_1) d x_1 = \lambda_2 K = \lambda_2 E [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (следствие):

на [math] \mathbb R:\ y = f(x) \gt 0 [/math]. [math] G(f) [/math] — подграфик, измерим. Тогда [math] f [/math] — измерима.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] G(f) [/math] — измерим. Применяем теорему: [math] E = G(f), E(x_1) = [0, f(x_1)] [/math]. По теореме, [math] \lambda_1 E(x_1) [/math] — измеримо [math] = f(x_1) [/math] — значит, [math] f [/math] — измеримая функция.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Фубини):

Пусть [math] E \subset \mathbb R^2, f: E \to \mathbb R [/math] — измерима. [math] \int\limits_E |f| d \lambda_2 \lt + \infty [/math] ([math] f [/math] — суммируема). Тогда для почти всех [math] x_1 \in \mathbb R, f(x_1, \cdot) [/math] будет суммируемой на [math] E(x_1) [/math] и [math] \int\limits_E f d \lambda_2 = \int\limits_{\mathbb R} \left( \int\limits_{E(x_1)} f(x_1, x_2) d x_2 \right) d x_1 [/math] (формула повторного интегрирования)

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] f = f_+ - f_- [/math], по линейности интеграла достаточно рассмотреть [math] f \ge 0 [/math]. Принцип Кавальери был доказан нами(ГДЕ?) для одномерных сечений, но он легко переносится на сечения любой размерности (нам нужны двумерные). Пусть [math] z = f(x, y) \ge 0 [/math]. [math] G(f) = \{ (x, y, z) : (x, y) \in E, 0 \le z \le f(x, y) \} [/math] Соответствующий интеграл по [math] x, y [/math] есть объем подграфика. Объём мы можем вычислять с помощью принципа Кавальери, создавая сечения плоскостями, параллельными [math] Oyz [/math] o_O . Проинтегрировав прощадь сечений, получим объём, равный соответствующему интегралу. Вычисление площади кажлого из сечений тоже может делаться с помощью интеграла, воспринимая его, как подграфик функции переменной y при фиксированном x. Отсюда появляется повторный интеграл и само равенство. Осталось записать это формально, базируясь на предыдущих теоремах( TODO: УПРАЖНЕНИЕ!!!).

[math]\triangleleft[/math]

<<