Коды Грея для перестановок

Определения

Определение:

Коды Грея для перестановок — упорядочение перестановок, при котором соседние перестановки отличаются только элементарной транспозицией. Элементарная транспозиция — транспозиция двух соседних элементов.

Примеры кодов Грея для перестановок

[math]n = 2[/math]	[math]\{1, 2\}[/math]	[math]\{2, 1\}[/math]
[math]n = 3[/math]	[math]\{1, 2, 3\}[/math]	[math]\{1, 3, 2\}[/math]	[math]\{3, 1, 2\}[/math]	[math]\{3, 2, 1\}[/math]	[math]\{2, 3, 1\}[/math]	[math]\{2, 1, 3\}[/math]

Построение кода Грея для перестановок

Будем строить код Грея для длины [math]n = k[/math]. Предположим, что нам известен код Грея для перестановок длиной [math]k - 1[/math]. Возьмем первую перестановку из известного нам кода. Она имеет следующий вид: [math]\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}[/math]

Сначала запишем [math]k[/math] в начало этой перестановки, после чего будем двигать его вправо элементарными транспозициями (подчёркнуты пары переставляемых элементов).

• [math]\{\underline{k, a_1}, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}\}[/math]
• [math]\{a_1, \underline{k, a_2}, a_3, \dots, a_{k-1}\}[/math]
• [math]\{a_1, a_2, \underline{k, a_3}, \dots, a_{k-1}\}[/math]
• [math]\{a_1, a_2, a_3, \underline{k, \dots}, a_{k-1}\}[/math]
• [math]\{a_1, a_2, a_3, \dots, \underline{k, a_{k-1}}\}[/math]
• [math]\{a_1, a_2, a_3, \dots, a_{k-1}, k\}[/math]

Получим [math]k[/math] различных перестановок, отличающихся одной элементарной транспозицией. Возьмем следующую строку из кода Грея для перестановок длиной [math]n = k - 1[/math], которая будет выглядеть так (т.к. мы получили, что элемент стоящий на первом месте в перестановке будет "двигаться" вправо, то и во второй перестановке первый элемент "поменяется" со вторым):

[math]\{a_2, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}[/math]

Элемент [math]k[/math] записываем в конец и начинаем "двигать" его влево:

• [math]\{a_2, a_1, a_3, \dots, \underline{a_{k-1}, k}\}[/math]
• [math]\{a_2, a_1, a_3, \underline{\dots, k}, a_{k-1}\}[/math]
• [math]\{a_2, a_1, \underline{a_3, k}, \dots, a_{k-1}\}[/math]
• [math]\{a_2, \underline{a_1, k}, a_3, \dots, a_{k-1}\}[/math]
• [math]\{\underline{a_2, k}, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}[/math]
• [math]\{k, a_2, a_1, a_3, \dots, a_{k-1}\}[/math]

Опять получили [math]k[/math] различных перестановок, отличающихся в одной элементарной транспозиции. Далее берем третью строку из кода Грея для перестановок длиной [math]n = k - 1[/math], записываем в ее начало элемент [math]k[/math] и двигаем его вправо, как для первой перестановки и т.д.

Для каждой перестановки длиной [math]n = k - 1[/math] (всего их [math](k - 1)![/math]) мы получили [math]k[/math] новых перестановок. Итого [math]k\cdot(k - 1)! = k![/math] перестановок. Все они различны, т.к. для любых двух перестановок из нового кода Грея элемент [math]k[/math] стоит на разных позициях,а если [math]k[/math] стоит на одной и той же позиции, то эти перестановки образованы от разных перестановок длиной [math]n = k - 1[/math]. Так же все соседние перестановки отличаются ровно в одной элементарной транспозиции (образованные от одной перестановки различны благодаря построению, от разных перестановок — имеют [math]k[/math] на одной и той же позиции, но отличаются в одной элементарной транспозиции, т.к. является перестановками в коде Грея для перестановок длиной [math]n = k - 1[/math]). Таким образом мы получили [math]k![/math] различных перестановок длиной [math]k[/math], отличающихся в одной элементарной транспозиции. Алгоритм для построения кодов Грея для перестановок длиной [math]n[/math] получен.

Пример применения алгоритма

Рассмотрим код Грея для длины [math]n = 2[/math]:

• [math]\{2, 1\}[/math]
• [math]\{1, 2\}[/math]

Тогда следуя алгоритму полученный код будет выглядеть так (подчёркнуты пары переставляемых элементов):

• [math]\{\underline{3, 2}, 1\}[/math] — берем первую перестановку и добавляем в начало тройку
• [math]\{2, \underline{3, 1}\}[/math] — двигаем до последней позиции
• [math]\{\underline{2, 1}, 3\}[/math]
• [math]\{1, \underline{2, 3}\}[/math] — берем следующую перестановку и записываем тройку в конец
• [math]\{\underline{1, 3}, 2\}[/math] — двигаем в начало
• [math]\{3, 1, 2\}[/math]

Код Грея получен.

Псевдокод получения кода Грея

Получаем код Грея рекурсивно, в базовом случае ([math]n = 1[/math]) возвращаем список из одной перестановки [math]\{1\}[/math].

 gray_code(n):
 if n == 1:
   return = [{1}]
 else:
   result = []
   perms = gray_code(n - 1)
   backward = false
   for perm in perms:
     if backward:
     	current = concat(perm, {n})
       result.append(current)
       for (i = n; i > 1; i--):
         swap(current[i - 1], current[i])
         result.append(current)
     else:
       current = concat({n}, perm)
       result.append(current)
       for (i = 1; i < n; i++):
         swap(current[i], current[i + 1])
         result.append(current)
     backward = !backward
   return result

Сведение задачи построения кода Грея для перестановок к графам

Последовательность перестановок, полученная с помощью данного алгоритма имеет интересную интерпретацию. Так, если рассмотреть граф, вершины которого соответствуют всем перестановкам и в котором две вершины, соответствующие перестановкам [math]f[/math] и [math]g[/math], соединены ребром, если [math]g[/math] образуется из [math]f[/math] однократной транспозицией соседних элементов, то полученная последовательность является гамильтоновым путем в этом графе.

См. также

• Коды Грея
• Комбинаторные объекты
• Гамильтонов путь

Литература

• Романовский, И.В. Дискретный Анализ - Санкт-Петербург 2003 стр. 39-41