Интеграл Дирихле

Для удобства вводим обозначения: $A_n(f,x)=A_n(x)=a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}$,где $a_n$,$b_n$ — коэффициенты Фурье, $S_n(f,x)=S_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}A_k(x)$ — частичные суммы ряда Фурье, $\sigma(f,x)=\sigma(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}A_k(x)$ — ряд Фурье.

Следуя Дирихле, запишем частичную сумму ряда Фурье посредством интеграла:

$S_n(x)=$$\frac{1}{2\pi}\int\limits_{Q}f(t)dt+\sum\limits_{k=1}^{n}(\frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}f(t)\cos{kt}dt\cos{kx}dx+\frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}f(t)\sin{kt}dt\sin{kx}dx)$

По свойствам интеграла, меняя местами значки интеграла и конечного суммирования, получим $\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}(\cos{kt}\cos{kx}+\sin{kt}\sin{kx})dt)=$ $\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}cos{k(x-t)})dt$

Определение:

$D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})$ — тригонометрический полином такого вида называется ядром Дирихле.

Подставляя эту функцию в только что полученную формулу, приходим

Определение:

$S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt$, что принято называть интегралом Дирихле

Из формулы для ядра видно, что ядро — четная функция, более того, если ядро заинтегрировать по всему участку, то такой интеграл равен $1$. Воспользуемся свойством, что если $f$ — $2\pi$-периодична, то $\int\limits_{Q}f=\int\limits_{a}^{a+2\pi}f$. Проделав замену переменных $u=t-x$ в интеграле Дирихле, приходим к формуле:

Определение:

$S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt$. В такой форме записи это называется интегралом свертки $f$ c ядром $D_n(t)$

Чтобы применять этот интеграл, найдем замкнутое выражение для ядра.

Утверждение:

$D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}$

$\triangleright$

По определению ядра: $D_n(f) = \frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})$. Домножим это выражение на $\sin{\frac{t}{2}}$. $\sin{\frac{t}{2}}D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\sum\limits_{k=1}^{n}( cos{kt} - \sin{\frac{t}{2}}))=$ $\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}(\sin{(k+\frac{1}{2})t}-\sin{(k-\frac{1}{2})t}))=$ $\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}(\sin{(n+\frac{1}{2})t}-\sin{\frac{t}{2}}))=$ $\frac{1}{2\pi}\sin{(n+\frac{1}{2})t}$ Разделив обе части на $\sin{\frac{t}{2}}$, получим требуемую формулу.

$\triangleleft$

Используя эту формулу, можно записать: $S_n(f,x)=\int\limits_{-\pi}^{pi}f(x+t)\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(k+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}dt=$

Пользуясь четностью ядра и линейностью интеграла

$=\int\limits_{-\pi}^{0}+\int\limits_{0}^{pi}=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t))D_n(t)dt$

Взяв $S \in \mathbb{R}$, $1=2\int\limits_{0}^{\pi}D_n(t)dt$, тогда $S=\int\limits_{0}^{\pi}2SD_n(t)dt$.

Приходим к формуле: $S_n(f,x)-S=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t)-2S)D_n(t)dt$ — основная формула для изучения сходимости ряда Фурье в индивидуальной точке $S$.