Участник:Yulya3102/Матан

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Основные вопросы

Список

  • Правило Лопиталя
  • Замечание о представимости функции рядом Тейлора
  • Дифференцирование разложений Тейлора
  • Иррациональность числа e
  • Критерий монотонности и строгой монотонности
  • Теорема о необходимом и достаточном условии экстремума
  • Лемма о трех хордах
  • Теорема об односторонней дифференцируемости выпуклой функции
  • Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции
  • Описание выпуклости с помощью касательных
  • Дифференциальный критерий выпуклости
  • Неравенство Йенсена
  • Неравенство Гельдера
  • Неравенство Минковского
  • Неравенство Коши
  • Теорема о свойствах неопределенного интеграла
  • Теорема о разложении рациональной дроби на простейшие
  • Лемма о свойствах сумм Дарбу
  • Критерий интегрируемости Римана
  • Интегрируемость на меньшем параллелепипеде
  • Аддитивность интеграла
  • Предел римановых сумм
  • Линейность интеграла
  • Монотонность интеграла
  • Интегрируемость модуля интегрируемой функции
  • Интегрируемость произведения
  • Интегрируемость частного
  • Ослабленный критерий Лебега. Следствие
  • Теорема о среднем. Следствия
  • Теорема Барроу
  • Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций
  • Замена переменных и интегрирование по частям в определенном инетграле
  • Иррациональность числа пи
  • Формула Валлиса
  • Формула Тейлора с интегральным остатком
  • Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей
  • Неравенства Гельдера и Минковского
  • Неравенство Йенсена для интегралов. Неравенство Коши
  • Теорема о формуле трапеций
  • Формула Эйлера - Маклорена
  • Формула Стирлинга
  • Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям
  • Признак сравнения сходимости несобственного интеграла


Правило Лопиталя

Правило Лопиталя для неопределенностей вида 0/0

Теорема:
Пусть:

[math]-\infty \le a \lt b \le +\infty[/math],

функции f и g дифференцируемы на (a, b),

[math]g'(t) \ne 0[/math] для любого [math]t \in (a, b)[/math],

[math]\underset {x \to a+}{\lim} f(x) = \underset{x \to a+}{lim} g(x) = 0[/math]

и существует предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}[/math].

Тогда предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f(x)} \over {g(x)}}[/math] также существует и равен A.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Пусть [math]a \in \mathbb{R}[/math]. Доопределим функции в точке a нулём: [math]f(a) = g(a) = 0[/math]. Тогда доопределенные функции f и g будут непрерывны на [a, b). Возьмем последовательность [math]\{ x_n \} : x_n \in (a, b), x_n \to a[/math], и докажем, что [math]{{f(x_n)} \over {g(x_n)}} \to A[/math]. Функции f и g удовлетворяют условиям теоремы Коши на каждом отрезке [math][a, x_n][/math]. Поэтому для любого [math]n \in \mathbb{N}[/math] найдется такая точка [math]c_n \in (a, x_n)[/math], что

[math] {{f(x_n} \over {g(x_n)}} = {{f(x_n) - f(a)} \over {g(x_n) - g(a)}} = {{f'(c_n)} \over {g'(c_n)}}[/math].

По теореме о сжатой последовательности [math]c_n \to a[/math]. По определению правостороннего предела на языке последовательностей [math]{f'(c_n) \over g'(c_n)} \to A[/math], а тогда в силу произвольности [math] \{x_n\}[/math] и [math]{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A[/math].

2. Пусть [math]a = -\infty[/math]. В силу локальности предела можно считать, что b < 0. Положим [math]\phi (t) = f(-{1 \over t}), \psi (t) = g(-{1 \over t}) (t \in (0, - {1 \over b}))[/math]. Тогда

[math]\phi '(t) = {1 \over t^2} f'(-{1 \over t})[/math],

[math]\psi '(t) = {1 \over t^2} g'(-{1 \over t}) \ne 0[/math],

[math]\underset {t \to 0+}{lim} \phi (t) = \underset {x \to -\infty}{lim} f(x) = 0[/math],

[math]\underset {t \to 0+}{lim} \psi (t)= \underset {x \to -\infty}{lim} g(x) = 0[/math],

[math]\underset {t \to 0+}{lim} {\phi '(t) \over \psi '(t)} = \underset{x \to -\infty}{lim} {f'(x) \over g'(x)} = A[/math].

По доказанному

[math]\underset {x \to -\infty}{lim} {f(x) \over g(x)} = \underset {t \to 0+}{lim} {\phi (t) \over \psi (t)} = A[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Правило Лопиталя для неопределенностей вида inf/inf

Теорема:
Пусть:

[math]-\infty \le a \lt b \le +\infty[/math],

функции f и g дифференцируемы на (a, b),

[math]g'(t) \ne 0[/math] для любого [math]t \in (a, b)[/math],

[math]\underset{x \to a+}{lim} g(x) = \infty[/math]

и существует предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f'(x)} \over {g'(x)}} = A \in \overline{\mathbb{R}}[/math].

Тогда предел [math]\underset{x \to a+}{lim} {{f(x)} \over {g(x)}}[/math] также существует и равен A.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Пусть [math]A = 0[/math]. Возьмем последовательность [math]\{x_n\}[/math] со свойствами: [math]x_n \in (a, b), x_n \to a[/math], и докажем, что [math]{f(x_n) \over g(x_n)} \to 0[/math]. Зафиксируем число [math]\sigma \gt 0[/math]. По условию найдется такое [math]y \in (a, b)[/math], что для любого [math]c \in (a, y)[/math] будет [math]g(c) \ne 0[/math] и [math]\left\vert {f'(c) \over g'(c)}\right\vert \lt \sigma[/math]. Начиная с некоторого номера [math]x_n \in (a, y)[/math], поэтому можно считать, что [math]x_n \in (a, y)[/math] для всех n. По теореме Коши для любого n найдется такое [math]c_n \in (x_n, y)[/math], что

[math]{f(x_n) \over g(x_n)} = {f(x_n) - f(y) \over g(x_n) - g(y)} {g(x_n) - g(y) \over g(x_n)} + {f(y) \over g(x_n)} = {f'(c_n) \over g'(c_n)} \left ( 1 - {g(y) \over g(x_n)} \right ) + {f(y) \over g(x_n)}[/math].

Учитывая еще, что [math]g(x_n) \to \infty[/math], находим

[math]\left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert \le \sigma \left ( 1 + \left\vert{g(y) \over g(x_n)}\right\vert \right ) + \left\vert {f(y) \over g(x_n)}\right\vert \underset{n \to \infty}{\to} \sigma[/math].

Поэтому [math]\overline{lim} \left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert \le \sigma[/math]. Но, так как [math]\sigma[/math] произвольно, [math]\overline{lim} \left\vert {f(x_n) \over g(x_n)} \right\vert = 0[/math], а значит, и [math]lim {f(x_n) \over g(x_n)} = 0[/math].

2. Пусть [math]A \in \mathbb{R}[/math] произвольно. Положим [math]h = f - Ag[/math]. Тогда

[math]\underset{x \to a+}{lim} {h'(x) \over g'(x)} = \underset{x \to a+}{lim} \left ( {f'(x) \over g'(x)} - A \right ) = 0[/math].

По доказанному [math]{h(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} 0[/math], то есть [math]{f(x) \over g(x)} \underset{x \to a+}{\to} A[/math].

3. Случай [math]A = +\infty[/math] рассматривается аналогично случаю [math]A = 0[/math]. При этом вместо [math]\left\vert {f'(c) \over g'(c)}\right\vert \lt \sigma[/math] используется неравенство [math]{f'(c) \over g'(c)} \gt M[/math] и доказывается, что [math]\underline{lim} {f(x_n) \over g(x_n)} \ge M[/math]. Случай [math]A = -\infty[/math] разбирается аналогично или сводится к случаю [math]A = +\infty[/math] переходом к функции [math]-f[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Замечание о представимости функции рядом Тейлора

Дифференцирование разложений Тейлора

Иррациональность числа е

Критерий монотонности и строгой монотонности

Теорема о необходимом и достаточном условии экстремума

Лемма о трех хордах

Теорема об односторонней дифференцируемости выпуклой функции

Следствие о точках разрыва производной выпуклой функции

Описание выпуклости с помощью касательных

Дифференциальный критерий выпуклости

Неравенство Йенсена

Неравенство Гельдера

Неравенство Минковского

Неравенство Коши

Теорема о свойствах неопределенного интеграла

Теорема о разложении рациональной дроби на простейшие

Лемма о свойствах сумм Дарбу

Критерий интегрируемости Римана

Интегрируемость на меньшем параллелепипеде

Аддитивность интеграла

Предел римановых сумм

Линейность интеграла

Монотонность интеграла

Интегрируемость модуля интегрируемой функции

Интегрируемость произведения

Интегрируемость частного

Ослабленный критерий Лебега. Следствие

Теорема о среднем. Следствия

Теорема Барроу

Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций

Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле

Интегральность числа пи

Формула Валлиса

Формула Тейлора с интегральным остатком

Неравенство Чебышева для функций и конечных последовательностей

Неравенство Гельдера и Минковского

Неравенство Йенсена для интегралов. Неравенство Коши

Теорема о формуле трапеций

Формула Эйлера - Маклорена

Формула Стирлинга

Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям

Признак сравнения сходимости несобственного интеграла

Определения и факты

Список

  • Ряды Тейлора основных элементарных функций
  • Локальный экстремум
  • Точка возрастания функции
  • Стационарная точка
  • Выпуклая функция
  • Выпуклое множество в R^m
  • Надграфик и подграфик
  • Опорная прямая
  • Первообразная
  • Таблица первообразных
  • Дробление отрезка
  • Дробление параллелепипеда
  • Что значит, что одно дробление мельче другого
  • Сумма Дарбу
  • Верхний интеграл Дарбу
  • Интегрируемая по Риману функция
  • Интеграл функции по параллелепипеду
  • Риманова сумма
  • Колебание функции на множестве
  • Множество объема 0
  • Множество меры 0
  • Интеграл с переменным верхним пределом
  • Кусочно-непрерывная функция
  • Почти первообразная
  • Несобственный интеграл