Участник:Yulya3102/Линал
< Участник:Yulya3102
Версия от 05:57, 17 апреля 2012; Yulya3102 (обсуждение | вклад) (Новая страница: «Теоретические вопросы по III-IV модулям Дисциплина "Геометрия и алгебра" (весенний семе...»)
Теоретические вопросы по III-IV модулям Дисциплина "Геометрия и алгебра" (весенний семестр)
Содержание
- 1 Линейные операторы
- 1.1 Линейные операторы и их матричная запись. Примеры.
- 1.2 Пространство линей ных операторов.
- 1.3 Алгебра. Примеры. Изоморфизм алгебр.
- 1.4 Алгебра операторов и матриц.
- 1.5 Обратная матрица: критерий обратимости, метод Гаусса вычисления обратной матрицы.
- 1.6 Обратная матрица: критерий обратимости, вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
- 1.7 Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ядре и образе. Функции матриц и операторов.
- 1.8 Обратный оператор. Критерий существования обратного оператора.
- 2 Тензорная алгебра
- 2.1 Преобразование координат векторов Х и Х* при замене базиса.
- 2.2 Преобразование матрицы линейного оператора А при замене базиса. Преобразование подобия.
- 2.3 Тензоры (ковариантность, независимое от ПЛФ определение). Пространство тензоров.
- 2.4 Свертка тензора.
- 2.5 Транспонирование тензора.
- 2.6 Определитель линейного оператора. Внешняя степень оператора.
- 2.7 Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей.
- 3 Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве
- 3.1 Инварианты линейного оператора. Инвариантные подпространства.
- 3.2 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: основные определения и свойства.
- 3.3 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора: существование, вычисление.
- 3.4 Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
- 3.5 Cпектральный анализ скалярного оператора: спектр, диагональный вид матрицы, спектральные проекторы, спектральная теорема.
- 3.6 Спектральная теорема и функциональное исчисление для скалярного оператора.
- 3.7 Спектральная теорема и инварианты скалярного оператора. Тождество Кэли.
- 4 Cпектральный анализ линейных операторов в конечномерном пространстве: операторы общего вида
- 4.1 Ультраинвариантные подпространства.
- 4.2 Алгебра скалярных полиномов. Идеал. Минимальный полином.
- 4.3 Алгебра операторных полиномов. Минимальный полином линейного оператора.
- 4.4 Разложение линейного пространства в сумму подпространств. 2-я теорема о ядре и образе. Теорема о проекторах.
- 4.5 Минимальный полином и инвариантные подпространства. Спектральная теорема для линейного оператора произвольного вида.
- 4.6 Нильпотентные операторы (определение, простейшие свойства). Жорданова клетка.
- 4.7 Структура нильпотентного оператора. Базис Жордана (обзор).
- 4.8 Жорданова форма матрицы линейного оператора.
- 4.9 Кратности собственных чисел (алгебраическая, геометрическая, полная). Теорема Гамильтона-Кэли.
- 5 Евклидово пространство.
- 5.1 Метрические, нормированные и евклидовы пространства.
- 5.2 Вещественное евклидово и псевдоевклидово пространство. Основные неравенства.
- 5.3 Комплексное евклидово пространство. Основные неравенства.
- 5.4 Ортогональность. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
- 5.5 Ортогональная сумма подпространств. Ортогональный проектор.
- 5.6 Задача о перпендикуляре.
- 5.7 Ортогональные системы векторов: коэффициенты Фурье, неравенства Бесселя и Парсеваля.
- 5.8 Метрический тензор. Естественный изоморфизм евклидова и сопряженного ему пространств.
- 5.9 Ковариантные и контравариантные координаты вектора. Операции поднятия и опускания индексов.
- 5.10 Эрмитовски сопряженный и эрмитов оператор в евклидовом пространстве: основные определения и свойства.
- 5.11 Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: теоремы о скалярном типе эрмитова и самосопряженного оператора.
- 5.12 Эрмитов и самосопряженный операторы в евклидовом пространстве: спектральная теорема, минимальное свойство.
- 5.13 Унитарный и ортогональный операторы: основные определения и свойства.
- 5.14 Унитарный оператор: теорема о скалярном типе унитарного оператора, спектральная теорема.
- 5.15 Приведение эрмитовой матрицы к диагональному виду унитарным преобразованием.
- 5.16 Квадратичные формы: основные определения, приведение к каноническому виду методом Лагранжа.
- 5.17 Квадратичные формы: приведение к каноническому виду унитарным преобразованием.
- 5.18 Квадратичные формы: закон инерции квадратичной формы.
- 5.19 Квадратичные формы: одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов.
