Эта статья находится в разработке!
Свободная группа
Рассмотрим конечный алфавит [math] \Sigma = \{ a_1, a_2, \dots a_n \}, \; \Sigma^{-1} = \{ a_1^{-1}, a_2^{-1}, \dots a_n^{-1} \} [/math].
Рассмотрим множество строк над алфавитом [math] \Sigma \cup \Sigma^{-1} ; \; S = S_1 S_2 \dots S_k , \; символ a \in \Sigma \cup \Sigma^{-1} [/math].
| Определение: |
| [math]S[/math] и [math]S'[/math] называются эквивалентными, если они могут быть превращены друг в друга вставками и удалениями из произвольных мест [math]aa^{-1}[/math] и [math]a^{-1}a[/math]. |
Таким образом, [math] \Sigma \cup \Sigma^{-1} [/math] с операцией конкатенации будет группой (обратным элементом будет обращение строки с заменой всех символов на «обратные» им).
| Определение: |
| [math] \Sigma \cup \Sigma^{-1} [/math] называется свободной группой, порожденной алфавитом [math]\Sigma[/math]. |
Рассмотрим строку. Проредуцируем её (будем последовательно удалять [math]aa^{-1}[/math] из нее, пока в строке не будет таких последовательностей элементов). Поставим вопрос: правда ли, что вне зависимости от последовательности удалений мы будем получать одну и ту же конечную редуцированную строку?
| Теорема: |
У одной строки существует лишь одна редуцированная строка |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Пусть существуют 2 проредуцированные строки [math]\omega_1[/math] и [math]\omega_2[/math], заданные одной строкой. Тогда существуют цепочки вставок и удалений
[math]\omega_1 \rightarrow S_1 \rightarrow S_2 \dots \rightarrow S_k \rightarrow \omega_2 [/math], где [math]\rightarrow[/math] − операция вставки или удаления [math]aa^{-1}[/math]. (Существование цепочки обеспечено тем, что эти строки образованы одним элементом).
Среди цепочек рассмотрим такую, у которой минимально [math]\sum |S_i|[/math] и пусть [math]S_i[/math] − строка наибольшей длины.
Рассмотрим [math] S_{i - 1} \rightarrow S_i \rightarrow S_{i + 1} [/math], причем мы знаем, что переходы от [math]i[/math] к [math]i - 1[/math] и [math]i + 1[/math] обеспечены за счет удаления (из-за того, что длина [math]S_i[/math] максимальна). Эти переходы могут быть обеспечены за счет:
- Двух непересекающихся пар. Тогда пусть [math] S_{i - 1} = L_1 L_2 b b^{-1} L_3, \quad S_i = L_1 a a^{-1} L_2 b b^{-1} L_3, \quad S_{i + 1} = L_1 a a^{-1} L_2 L_3 [/math], где [math]L_1, L_2, L_3[/math] − некие строки.
Таким образом, у нас есть часть цепочки [math]L_1 L_2 b b^{-1} L_3 \rightarrow L_1 a a^{-1} L_2 b b^{-1} L_3 \rightarrow L_1 a a^{-1} L_2 L_3 [/math]. Заменим эту часть цепочки на [math]L_1 L_2 b b^{-1} L_3 \rightarrow L_1 L_2 L_3 \rightarrow L_1 a a^{-1} L_2 L_3 [/math]. Заметим, что крайние значения части цепочки от этого не изменятся, но [math]\sum |S_i|[/math] уменьшится, а это противоречит нашему предположению о минимальности суммы.
- Пар, пересекающихся по двум позициям. Тогда [math]S_{i-1} = S_{i+1}[/math], и можно избавиться от [math]S_{i}[/math] и [math]S_{i + 1}[/math], и от этого сумма длин слов также уменьшится.
- Пар, пересекающихся по одной позиции. Имеем [math]L_1 a L_2 \rightarrow L_1 a a^{-1} a L_2 \rightarrow L_1 a L_2[/math], и в этом случае мы также можем избавиться от [math]S_{i}[/math] и [math]S_{i + 1}[/math], что также уменьшит итоговую сумму длин строк.
Таким образом, мы пришли к противоречию во всех случаях, а это значит, что мы доказали теорему. |
| [math]\triangleleft[/math] |
