Участник:Muravyov

Триангуляция полигона — декомпозиция внутренней области многоугольника [math]P[/math] на множество треугольников, внутренние области которых попарно не пересекаются и объединение которых в совокупности составляет [math]P[/math]. В строгом смысле слова, эти треугольники могут иметь вершины только в вершинах исходного многоугольника. Кроме того, случаи триангуляции простого многоугольника и многоугольника с полигональными отверстиями рассматриваются отдельно.

Теорема (о сечениях):

Пусть [math] E \subset \mathbb R^2, \lambda_2 E \lt + \infty [/math] Тогда: [math] \forall x_1 \in \mathbb R : E(x_1) [/math] — измеримое множество. [math] \lambda_1(E(x_1)) [/math] — измеримая на [math] \mathbb R [/math] функция. [math] \lambda_2(E) = \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Схема доказательства — такая же, как и с формулой меры подграфика функции — от простого к сложному. 1) [math] E = [a, b] \times [c, d] [/math]. [math] E(x_1) = \begin{cases} [c, d] &, x_1 \in [a, b] \\ \varnothing &, x_1 \notin a, b] \end{cases} [/math] — измеримо. [math] \lambda(E(x_1)) = \begin{cases} d - c &, x_1 \in [a, b] \\ 0 &, x_1 \notin [a, b] \end{cases} [/math] — кусочно-постоянная функция на оси, суммируема. [math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = (b - a) (d - c) = \lambda_2 E [/math] Вместо замкнутого прямоугольника можно было рассматривать прямоугольник любого вида, в том числе и ячейку. 2) [math] G [/math] — открытое множество, [math] \lambda G \lt + \infty [/math]. [math] G = \bigcup\limits_n \Delta_n (x_1) [/math] , по 1) [math] \Delta_n (x_1) [/math] — измеримо, а не более, чем счётное объединение измеримых, измеримо. В силу сигма-аддитивности длины/меры Лебега, [math] \lambda_1(G(x_1)) = \sum\limits_n \lambda_1 (\Delta_n(x_1)) [/math]. Каждое слагаемое измеримо, поточечный предел измеримой функции измерим, значит, [math] \lambda_1 [/math] измеримо по [math] x_1 [/math]. [math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1(G(x_1)) dx = [/math] (т. Леви (Но причем тут она? Надо пользоваться сигма-аддитивностью интеграла.)) [math] \sum\limits_n \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (\Delta_n (x_1)) d x_1 = \sum\limits_n \lambda_2 (\Delta_n) = \lambda_2 (G) [/math]. 3) [math] E [/math] — множество типа [math] G_\delta [/math] (не более, чем счётное пересечение открытых множеств). [math] E = \bigcap\limits_n G_n [/math] — открытое, [math] G_{n+1} \subset G_n [/math] ([math] E [/math] — измеримо). По сигма-аддитивности, [math] \lambda_2 E = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_2 (G_n)[/math]. [math]E(x_1) = \bigcap\limits_n G_n(x_1) [/math] — измеримо для любого [math] x_1 [/math]. [math] \lambda_1 (E(x_1)) = \lim\limits_{n \to \infty} \lambda_1 (G_n(x_1)) [/math] — тоже измеримо(как предел измеримой функции). По теореме Лебега о мажорируемой сходимости: [math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (E(x_1)) d x_1 = \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 (G_n(x_1)) d x_1 [/math]. [math] \lambda_2 (G_n) \to \lambda_2(E) [/math] 4) [math] E [/math] — нульмерно. Представим [math] E [/math] как пересечение убывающих открытых множеств: [math] E = \bigcap\limits_n G_n, G_{n + 1} \subset G_n [/math]. Для всех [math] G_n [/math] теорема уже доказана. Тогда [math] E(x1) = \bigcap\limits_n G_n(x) [/math] является пересечением измеримых множеств, значит, оно измеримо. Множество Лебега [math] E(f \le a) [/math] функции [math] f = \lambda_1 (E(x_1)) [/math] тоже будет измеримо при любом [math] a [/math] как пересечение измеримых множеств: [math] E(f \le a) = \bigcap\limits_n G_n(f \le a) [/math]. По теореме Лебега о мажорируемой сходимости (так же, как и в 3), более того, похоже, нульмерное множество - вообще частный случай [math] G_\delta [/math]), равенство выполняется. 5) [math] E [/math] — произвольное измеримое множество. По теореме, которой у нас не было(аналогично теореме про [math] E = F_\sigma \cup A [/math]), подбираем множество [math] K [/math] типа [math] G_\delta [/math] так, чтобы [math] E \subset K [/math] и [math] \lambda_2(K \setminus E) = 0 [/math]. Тогда [math] E(x_1) = K(x_1) \setminus (K \setminus E)(x_1) [/math], а почти все сечения множества [math] K \setminus E [/math], по пункту 4, имеют меру 0. Следовательно, сечения [math] E(x_1) [/math] измеримы и [math] \lambda_1 E(x_1) = \lambda_1 K(x_1) [/math] для почти всех [math] x_1 [/math]. Из этого следует, что [math] \lambda_1 E(x_1) \sim \lambda_1 K(x_1) [/math], значит, она тоже измерима. Наконец, [math] \int\limits_{\mathbb R} \lambda_1 E (x_1) d x_1 = \int\limits_{\mathbb R} K(x_1) d x_1 = \lambda_2 K = \lambda_2 E [/math].

[math]\triangleleft[/math]