Задача о рюкзаке

Задача о рюкзаке — дано [math]k[/math] предметов, [math]i-ый[/math] предмет имеет массу [math] w_i \gt 0[/math] и стоимость [math] p_i \gt 0[/math]. Необходимо выбрать из этих предметов такой набор, чтобы суммарная масса не превосходила заданной величины [math]W[/math] (вместимость рюкзака), а суммарная стоимость была максимальна.

Формулировка задачи

Дано [math]k[/math] предметов, [math]W[/math] - вместимость рюкзака, [math]w=\{w_{1},w_{2},...,w_{k}\}[/math] — соответствующий ему набор положительных целых весов, [math]p=\{p_{1},p_{2},...,p_{k}\}[/math] — соответствующий ему набор положительных целых стоимостей. Нужно определить набор бинарных величин [math]B=\{b_{1},b_{2},...,b_{k}\}[/math], где [math]b_{i} = 1 [/math], если предмет включен в набор, [math] b_{i} = 0 [/math], если предмет не включен, такой что:

1. [math]b_{1} w_{1}+ ... + b_{k} w_{k} \le W[/math]

1. [math]b_{1} p_{1}+ ... + b_{k} k_{k} [/math] максимальна.

Варианты решения

Задачу о рюкзаке можно решить несколькими способами:

• Перебирая все подмножества набора из k предметов. Сложность такого решения [math]O({2^{k}})[/math].

• Методом Meet-in-the-middleMeet-in-the-middle. Сложность решения [math] O({2^{N/2}}\times{N}) [/math]

• Метод динамического программирование. Сложность - [math]O(k \times W)[/math]. Рассмотрим этот алгоритм подробнее.

Алгоритм [math]O(k \times W)[/math]

Пусть [math]A(s, n)[/math] есть максимальная стоимости предметов, которые можно уложить в рюкзак вместимости n, если можно использовать только первые s предметов из заданных k.

[math]A(s, 0) = 0[/math]

[math]A(0, n) = 0[/math]

Найдем [math]A(s, n)[/math]. Возможны 2 варианта:

1. Если предмет [math]s[/math] не попал в рюкзак. Тогда [math]A(s, n) = A(s-1, n)[/math]

1. Если [math]s[/math] попал в рюкзак. Тогда [math]A(s, n) = A(s-1, n-w_{s}) + p_{s}[/math]

Таким образом: [math]A(s,n) = max(A(s-1,n), A(s-1,n-w_{s}) + p_{s})[/math]

Теперь найдем набор предметов, входящих в рюкзак.

Рассмотрим входит ли [math]k[/math] - последний предмет в рюкзак. Если [math]A(k, W)[/math] равно [math]A(k-1, W)[/math], значит последний предмет не входит в набор, иначе входит. Так рекусривно идем до первого предмета. Получаем искомый набор.

Реализация

Сначала генерируем [math]А[/math]

for i = 0..W
  A[0][i] = 0
for i = 0..k
  A[i][0] = 0    //Первые элементы приравниваем 0
for s = 1..k               
  for n = 0..W   //Перебираем для каждого s, все n
    if n >= w[s]    //Если текущий предмет можно положить в рюкзак
      A[s][n] = max(A[s-1][n], A[s-1][n-w[s]]+p[s]) //выбираем класть его или нет
    else 
      A[s][n] = A[s-1][n]             //иначе, не кладем

Затем найдем набор [math]ans[/math] предметов, входящих в рюкзак, рекурсивной функцией:

findAns(s, n)
  if A[s][n] == 0 
    return
  if A[s-1][n] == A[s][n]
    findAns(s-1, n)
  else 
    findAns(s-1, n - w[s]);
    ans.push(s);

Сложность алгоритма [math]O(kW)[/math]

Пример

[math]W = 13, k = 5[/math]

[math]w_{1} = 3, p_{1} = 1 [/math]

[math]w_{2} = 4, p_{2} = 6 [/math]

[math]w_{3} = 5, p_{3} = 4 [/math]

[math]w_{4} = 8, p_{4} = 7 [/math]

[math]w_{5} = 9, p_{5} = 6 [/math]

s = 0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
s = 1	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
s = 2	0	0	0	1	6	6	6	7	7	7	7	7	7	7
s = 3	0	0	0	1	6	6	6	7	7	10	10	10	11	11
s = 4	0	0	0	1	6	6	6	7	7	10	10	10	13	13
s = 5	0	0	0	1	6	6	6	7	7	10	10	10	13	13

Числа от 0 до 15 в первой строчке обозначают вместимость рюкзака.

В первой строке как только вместимость рюкзака [math]n /ge 3[/math], добавляем в рюкзак 1 предмет.

Во второй строке, когда можно использовать первые [math]2[/math] предмета.

Максимальная стоимость рюкзака находится в [math]A(5, 15)[/math].

Теперь восстановим набор предметов, из которых состоит максимально дорогой рюкзак.

Сравниваем [math]A(5, 15) = 14[/math] и [math]A(4, 15) = 12[/math]. Не равны. Следовательно, [math]5[/math] предмет входит в искомый набор, переходим к [math]4[/math] предмету с весом рюкзака [math]W - w_5[/math]. То есть [math]15 - 5 = 10[/math]

Сравниваем [math]A(4, 10) = 8[/math] и [math]A(3, 10) = 8[/math]. Равны. Следовательно, [math]4[/math] предмет не входит в набор, переходим к [math]3[/math] предмету с тем же весом рюкзака.

Сравниваем [math]A(3, 10) = 8[/math] и [math]A(2, 10) = 8[/math]. Равны. Следовательно, [math]4[/math] предмет не входит в набор, переходим к [math]2[/math] предмету с тем же весом рюкзака.

Сравниваем [math]A(2, 10) = 2[/math] и [math]A(1, 10) = 5[/math]. Не равны. Следовательно, [math]2[/math] предмет входит в набор, уменьшаем вес рюкзака на [math]w_2[/math], переходим к [math]1[/math] предмету.

Сравниваем [math]A(1, 6) = 5[/math] и [math]A(0, 6) = 0[/math]. Не равны. Следовательно, [math]1[/math] предмет входит в набор.

Таким образом, набор состоит из [math]1, 2, 5[/math] предметов.

Стоимость рюкзака [math]= 5 + 3 + 6 = 14[/math]

Вес рюкзака [math]= 6 + 4 + 5 = 15[/math]

Литература

• Дистанционная подготовка по информатике