Линейные функционалы

Определение:

Пусть $X$ ­— линейное множество. Отображение $f\colon X \to \mathbb{R}$ — линейный функционал, если $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \ \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(x)$. Обозначим $X^*$ — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве $X$. $\mathrm{Ker}\, f = \{x \mid f(x) = 0 \}$ — ядро функционала.

Заметим: $\forall \alpha \in \mathbb{R} ~ 0 \cdot \alpha = 0$. По линейности $f(\alpha \cdot 0) = \alpha f(0)$, следовательно, $f(0) = 0$.

$\mathrm{Ker}\, f$ — линейное подмножество $X$: Пусть $x, y \in \mathrm{Ker}\, f$, тогда $f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) = 0 \implies \alpha x + \beta y \in \mathrm{Ker}\, f$.

Коразмерность

Выясним геометрическую структуру ядра.

Напомним свойства отношения эквивалентности:

1. Рефлексивность: $x \sim x$

2. Симметричность: $x_1 \sim x_2 \implies x_2 \sim x_1$

3. Транзитивность: $x_2 \sim x_2,~ x_2 \sim x_3 \implies x_1 \sim x_3$

Определение:

Пусть $X$ ­— линейное множество, $Y$ линейное подмножество $X$. Введем отношение эквивалентности на $X$: $x_1 \sim x_2 \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} x_1 - x_2 \in Y$ $[x] = \{ y \in X \mid y \sim x \}$ — классы смежности по $Y$. $X /_Y$ — совокупность всех классов смежности — фактор-множество по $Y$.

Операции над классами смежности:

$[x] + [y] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [x+y]$

$\alpha [x] \stackrel{\mathrm{def}}{=} [\alpha x]$

Эти операции не зависят от представителя класса.

Фактор-множество — линейное, следовательно, можно говорить о его размерности:

Определение:

$\mathrm{Codim}\, Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dim X /_Y$ — коразмерность $Y$. $Y$ — гиперплоскость в $X$, если $\mathrm{Codim}\, Y = 1$.

Что означает коразмерность на языке исходных линейных операций?

Утверждение:

$\mathrm{Codim}\, Y = n \iff \exists\, e_1, \ldots, e_n \in X$ такие, что $\forall x \in X$ представляется единственным образом: $x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y, ~ y \in Y$.

$\triangleright$

Замечание: для $n = 1$: если $\mathrm{Codim}\, Y = 1 \iff \exists\, e \in X$ такое, что $\forall x \in X$ представляется единственным образом: $x = \alpha e + y, ~ y \in Y$. Доказательство $\implies$: $\mathrm{Codim}\, Y = n \implies \dim X /_Y = n \implies \exists \xi_1 \ldots \xi_n \in X /_Y$ — базис $X /_Y$. $\forall \xi \in X /_Y$ единственным образом $\xi = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k$. Рассмотрим $\forall x \in X$, $[x] \in X /_Y$ и его представление $[x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k$. Пусть $\xi_k = [ e_k ]$, то есть $[ x ] = \left [ \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k \right ]$. Следовательно, по определению $[ x ]$, $x \sim \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k$ $\implies x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k = y \in Y \implies x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y$ ­— разложение $x$. Единственность следует из единственности разложения по базису $[x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k$. Доказательство $\Longleftarrow$: TODO: упражнение

$\triangleleft$

Утверждение (Коразмерность ядра функционала):

$\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1$

$\triangleright$

Рассмотрим $x_0 \in X : f(x_0) \not = 0$. Возьмем $\forall x \in X$, подберем $\alpha$ такое, чтобы $y = x - \alpha x_0 \in \mathrm{Ker}\, f$. $f (x - \alpha x_0) = 0 \implies f(x) = \alpha f(x_0), \quad f(x_0) \not = 0 \implies \alpha = \frac{f(x)}{f(x_0)}$. Предстваление единственно: пусть есть два представления $x = \alpha x_0 + y$ и $x = \beta x_0 + y'$, тогда $(\beta - \alpha) x_0 + (y - y') = 0$. Применим к обеим частям $f$, тогда $(\beta - \alpha) f(x_0) + f(y - y') = f(0)$, так как $y - y'$ в ядре, получили $f(x_0) = 0$, то есть протипоречие. Нашли единственное представление, следовательно, по предыдущему утверждению, $\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1$.

$\triangleleft$

Итак, ядро линейного функционала является гиперплоскостью.

Для непрерывности надо превратить $X$ в ТВП. Наиболее важный случай — когда $X$ является НП.

Для функционального анализа значение имеют линейные непрерывные функционалы.

Непрерывность функционала

Определение:

Пусть $X$ ­— нормированное пространство. Линейный функционал $f \in X^*$ — непрерывен в точке $x$, если $x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x)$.

Далее: $\| \cdot \|$ — норма на $X$.

Заметим, что в силу линейности функционала нам достаточно проверять непрерывность в нуле:

Утверждение:

Линейный функционал $f$ непрерывен $\iff$ $f$ непрерывен в нуле.

$\triangleright$

Рассмотрим $x_n \to 0$. $f(x_n) \to f(0) = 0$. Проверим непрерывность $f$: $x_n \to x \implies x_n - x \to 0 \implies f(x_n - x) \to 0$ $f(x_n - x) = f(x_n) - f(x), \quad f(x_n) \to f(x)$

$\triangleleft$

Обозначение $\overline{V}_1 = \{ x : \| x \| \leq 1 \}$

Введем норму в $X^*$:

$\| f \| \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup\limits_{\overline{V}_1} {| f(x) |}$

Определение:

$f$ ­— ограниченный функционал, если $\| f \| \lt \infty$.

Отметим, что для ограниченного функционала: $\forall x \in X, x \not = 0$

$\frac {x} {\| x \| } \in \overline{V}_1 \implies \left | f \left ( \frac {x} {\| x \|} \right ) \right | \leq \| f \| \implies f \left ( \frac {x} {\| x \|}\right ) = \frac 1 {\| x \|} f(x) \implies \\ | f(x) | \leq \| f \| \cdot \| x \|$

Утверждение:

$f$ — непрерывен $\iff$ $f$ ­— ограничен.

$\triangleright$

1) $f$ ­— ограничен $\implies \| f \| \lt \infty$. Как отмечалось ранее: $| f(x) | \leq \| f \| \cdot \| x \|$ Рассмотрим $x_n \to 0 \implies \| x_n \| \to 0 \implies | f(x_n) | \leq \| f \| \cdot \| x_n \| \implies f(x_n) \to 0 \implies f$ — непрерывен. 2) $f$ — непрерывен. Пусть $\| f \| = \infty$, тогда по определению $\| f \|$: $\forall n \in \mathbb{N} ~ \exists\, x_n \in \overline{V}_1 : | f (x_n) | \gt n \implies$ по линейности $\left| f \left( \frac {x_n}{n} \right) \right| \gt 1$. $\left\| \frac{x_n}{n} \right\| = \frac1n \| x_n \|$, так как $x_n \in \overline{V}_1 \implies \frac1n \| x_n \| \leq \frac1n$ $n \to \infty, \quad \frac1n \to 0, \quad \left \| \frac {x_n}{n} \right \| \to 0 \implies \frac{x_n}{n} \to 0 \implies$ по непрерывности $f \left ( \frac {x_n}{n} \right ) \to 0$. Пришли к противоречию.

$\triangleleft$

Пусть $X^*$ обозначает теперь более узкий класс линейных ограниченных функционалов. То, что $\|f\|$ — норма, проверяется так же, как свойства нормы линейного оператора, то есть получили, что $X^*$ — НП, сопряженное с $X$.

Утверждение:

Пусть $Y$ — линейное всюду плотное в $X$ множество. $f$ — линейный непрерывный функционал на $Y$. Тогда существует единственный $\widetilde f$ — линейный непрерывный функционал на $X$ такой, что: 1) $\widetilde f |_Y = f$ — сужение на $Y$ совпадает с $f$. 2) $\| \widetilde f \|_X = \| f \|_Y$

$\triangleright$

TODO: Было в виде идеи, доказал Дмитрий Герасимов 21:18, 7 января 2013 (GST) , проверьте По определению всюду плотности, $\mathrm{Cl}\, Y = X$, то есть любое $\forall x \in X$ можно аппроксимировать последовательностями $y \in Y$: $y_n \to x$, при этом последовательности $y$ будут сходящимися в себе. Рассмотрим последовательность $\{ f(y_n) \}$. Она сходится в себе, так как $f(y_n) - f(y_m) = f(y_n - y_m)$, $y_n - y_m \in Y$, и как мы уже заметили, последовательность $y$ сходится в себе, тогда $f(y_n - y_m) \le \|f\| \|y_n - y_m\|$, по ограниченности $f$ и сходимости в себе $y$, также сходится. Последовательность $f(y_n)$ сходится в себе, тогда по полноте $\mathbb{R}$, последовательность $f(y_n)$ также сходится к некому пределу , который мы и определим как продолжение функционала в точке $x$, то есть $\widetilde f(x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim f(y_n)$. Установим единственность: Если $y_n \to x$ и $y'_n \to x$, то $y_n - y'_n \to 0 \implies f(y_n - y'_n) \to 0 \implies f(y_n) - f(y'_n) \to 0 \\ \implies \lim f(y_n) = \lim f(y'_n)$. Таким образом предел не зависит от выбора $y_n$. Покажем, что $\widetilde f$ ­— линейный и удовлетворяет условию теоремы: $\widetilde f (\alpha x) = \lim f(\alpha y_n) = \lim \alpha f(y_n) = \alpha \lim f(y_n) = \alpha \widetilde f(x)$ $\widetilde f (x + x') = \lim f(y_n + y'_n) = \lim f(y_n) + f(y'_n)$$= \lim f(y_n) + \lim f(y'_n) = \widetilde f(x) + \widetilde f(x')$ сужение: покажем, что $\forall y \in Y: \widetilde f(y) = f(y)$, как уже показали, можем выбрать любую последовательность, сходящуюся к $y$, тогда возьмем последовательность, состоящую только из $y$, очевидно, она сходится к $y$ и значения функционалов совпадают сохранение нормы: по только что доказанному свойству сужения, на $\| x \| \le 1, x \in Y$ функционал $\widetilde f$ принимает все те значения, что и $f$, поэтому достаточно показать, что не найдется $x: \| x \| \le 1, x \in X, x \notin Y: |\widetilde f(x)| \gt \|f\|$. Пусть такой $x$ нашелся со значением функционала $\widetilde f(x) \gt 0$, значит, он является пределом какой-то последовательности $y_n$ в $Y$. Тогда по определению продолжения функционала и определению предела $\forall \varepsilon \gt 0 \exists N \forall n \ge N: |f(y_n) - \widetilde f(x)| \lt \varepsilon$, возьмем $\varepsilon \lt \widetilde f(x) - \|f\|$, тогда найдется такой номер $N$, что $y_N \in Y, f(y_N) \gt \|f\|$, то есть получили противоречие. непрерывность: вместо непрерывности можно показать ограниченность, а по только что доказанному, норма сохраняется, и функционал останется ограниченным

$\triangleleft$

Теорема (характеристика ограниченного функционала в терминах ядра):

$f$ — ограничен $\iff \mathrm{Ker}\, f$ — замкнуто в $X$.

Доказательство:

$\triangleright$

$\implies$ $f$ — ограничен, значит непрерывен. По непрерывности функционала: $x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) , \, x_n \in \mathrm{Ker}\, f$ ~ $f(x_n) = 0, f(x) = 0 \implies x \in \mathrm{Ker}\, f$ то есть оно содержит пределы своих подполедовательностей $\implies$ ядро замкнуто. $\Leftarrow$ $\mathrm{Ker}$ — замкнуто. $\mathrm{Cl}\, \mathrm{Ker}\, f = \mathrm{Ker}\, f$. Если $x_n \in X ,\, x_n \to x \stackrel{?}{\implies} f(x_n) \to f(x)$. $\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1$, значит мы сможем представить $x_n$ и $x$ следуюшим образом: $x_n = y_n + t_ne, \,y_n \in \mathrm{Ker}\, f, \, e \in X$ $x = y + te$. Проверим $x_n \to x \stackrel{?}{\implies} t_n \to t$. Достаточно доказать, что $\{ t_{n_k} \} \to t$. Пусть $t_{n_k} \to t' \implies t_{n_k} e \to t'e$ $x_{n_k} (\to x) = y_{n_k} + t_{n_k} e (\to t'e)$ (по условию $x_n \to x$) Значит $y_{n_k} \to y'$ (и $x = y' + t'e$) В силу замкнутости ядра т.к. $y_{n_k} \in \mathrm{Ker}\, f \implies y' \in \mathrm{Ker}\, f$ Значит мы записали $x = y' + t'e, \, y' \in \mathrm{Ker}\, f$. Отсюда, т.к. представление единственно и $t'=t$, получаем, что в выражении $x_n = y_n + t_ne, \, x_n \to x,\, y_n \to y,\, t_n \to t$ $f(x_n) = f(y_n) + t_nf(e) = t_nf(e) \to tf(e) = f(y + te) = f(x)$

$\triangleleft$

Установим теперь важную теорему, которая задает общую формулу для записи линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве.

Теорема (Рисс):

$\forall f \in H^*\; \exists ! y \in H : f(x) = \langle x, y \rangle$, причем $\|f\| = \|y\|$

Доказательство:

$\triangleright$

<wikitex> Покажем, что функционал, определенный как $g(x) = \langle x, y \rangle$ (для произвольного $y \in H$), — линейный и ограниченный, причем $\

$\triangleleft$

Ссылочки:

• Quotient space
• Quotient space (linear algebra)