//статья в разработке//
| Определение: |
| Пусть [math]E[/math] - линейное пространство над [math]\mathbb{C}[/math]
В [math]E[/math] задана эрмитова метрическая форма, т.е [math]G:\: E\times E\longrightarrow \mathbb{C}[/math] co свойствами:
[math]1)\: G(\alpha x_{1}+\beta x_{2};y)=\alpha G(x_{1},y)+\beta G(x_{2},y)[/math], где [math]\alpha[/math] , [math]\beta[/math] - комплексные числа
[math]2)\: G(x,y)=\overline{G(y,x)}[/math]; [math]G(x,x)=\overline{G(x,x)} \Longrightarrow G(x,x) \in \mathbb{R}[/math]
[math]3)\: G(x,y) \ge 0;\: G(x,y)=0 \Longleftrightarrow x = 0_{E}[/math] |
NB 1: [math]G[/math] полуторалинейна:
[math]G(x;\alpha y_{1}+\beta y_{2})=\overline{\alpha}G(x,y_{1})+\overline{\beta}G(x,y_{2})[/math]
NB 2: [math]G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle _{G}; x,y \in E([/math]над [math] \mathbb{C})[/math]
NB 3: [math]G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle _{G}[/math]
[math]\Vert x\Vert_{G}=\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle _{G}};
\:\Vert\alpha x\Vert_{G}=\sqrt{\left\langle \alpha x,\alpha x\right\rangle _{G}}=\sqrt{\alpha\cdot\overline{\alpha}\cdot\left\langle x,x\right\rangle _{G}}=|\alpha|\cdot\Vert x\Vert_{G}
[/math]
Примеры
[math]E = \mathbb{C}^{n}[/math]
[math]\left\langle x,y\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}\xi^{i}\overline{\eta^{i}}[/math]
[math]\left\langle y,x\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}\eta^{i}\overline{\xi^{i}}=\overline{\sum\overline{\eta^{i}}\xi^{i}}=\overline{\left\langle x,y\right\rangle }[/math];
[math]\left\langle x,x\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}\xi^{i}\overline{\xi^{i}}=\sum_{i=1}^{n}|\xi^{i}|^{2}\gt 0[/math]
Неравенство Шварца(Коши-Буняковского)
| Теорема: |
[math]\forall\: x,y\in \mathbb{C}:\;|\left\langle x,y\right\rangle _{G}|\leq\Vert x\Vert_{G}\cdot\Vert y\Vert_{G}[/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Рассмотрим [math]\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle =\Vert\lambda x+y\Vert^{2}\geq0[/math], где [math]\lambda \in \mathbb{R}[/math]
[math]\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle = \left\langle \lambda x;\lambda x\right\rangle +\left\langle \lambda x;y\right\rangle +\left\langle y;\lambda x\right\rangle +\left\langle y;y\right\rangle [/math]
[math]= \lambda\cdot\overline{\lambda}\left\langle x,x\right\rangle +\lambda\cdot(\left\langle x;y\right\rangle +\overline{\left\langle x;y\right\rangle })+\left\langle y,y\right\rangle [/math]
[math]= \Vert x\Vert^{2}\cdot\lambda^{2}+\lambda\cdot 2Re\left\langle x;y\right\rangle + \Vert y\Vert^{2}\geq0[/math] - многочлен второй степени, все коэффициенты вещественные
[math]D \le 0[/math]
[math] D/4=(-Re\left\langle x,y\right\rangle )^{2}-\Vert x\Vert^{2}\cdot\Vert y\Vert^{2}\le0\Longrightarrow |Re\left\langle x,y\right\rangle |\le\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert[/math] - верно для [math]\forall x,y\in E[/math]. Назовём это неравенство [math](\times)[/math] - крестик.
Трюк: пусть [math]\left\langle x,y\right\rangle = |\left\langle x,y\right\rangle|\cdot e^{i\varphi}[/math], где [math]\varphi=arg\left\langle x,y\right\rangle[/math]. Тогда пусть в [math](\times): y \longrightarrow y\cdot e^{i\varphi} \Longrightarrow \Vert e^{i\varphi}y\Vert=|e^{i\varphi}|\cdot\Vert y\Vert[/math]
Заметим, что [math]\left\langle x,e^{i\varphi}y\right\rangle=\overline{e^{i\varphi}}\left\langle x,y \right\rangle[/math]
Заменим в [math](\times)[/math] [math]y[/math] на [math]e^{i\varphi}y \: : |Re\left\langle x,e^{i\varphi}y\right\rangle|
\le\Vert x\Vert\cdot\Vert e^{i\varphi}y\Vert[/math]
левая часть равна [math]|Re|\left\langle x,y\right\rangle|| = |\left\langle x,y\right\rangle|[/math]
правая часть равна [math]\Vert x \Vert\cdot\Vert y\Vert[/math]
Таким образом, [math]|\left\langle x,y\right\rangle| \le \Vert x \Vert\cdot\Vert y\Vert[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
