Мастер теорема (англ. Master theorem) позволяет найти асимптотическое решение рекуррентных соотношений, которые могут возникнуть в анализе асимптотики многих алгоритмов. Однако не все рекуррентные соотношения могут быть решены через мастер теорему, ее обобщения включаются в метод Акра-Бацци[1].
Формулировка и доказательство мастер-теоремы
| Теорема (мастер-теорема): |
В анализе асимптотики алгоритма получено соотношение такого вида:
[math] T(n) = \begin{cases}
a \; T\!\left(\dfrac{n}{b}\right) + O(n^{c}) , & n \gt 1\\
O(1) , & n = 1
\end{cases}
, [/math]
где [math]a[/math] [math]\in \mathbb N [/math], [math]b[/math] [math] \in \mathbb R [/math], и [math] b \gt 1[/math], [math]c[/math] [math]\mathbb \in R^{+} [/math] число и [math] d [/math] [math] \in \mathbb R^{+} [/math].
Тогда решение данной рекурренты зависит от соотношения между [math]a, b, c[/math] так:
- Если [math]c \gt \log_b a[/math], то [math]T(n) = \Theta\left( n^{c} \right)[/math]
- Если [math]c = \log_b a[/math], то [math]T(n) = \Theta\left( n^{c} \log n \right)[/math]
- Если [math]c \lt \log_b a[/math], то [math]T(n) = \Theta\left( n^{\log_b a} \right)[/math]
|
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Заметим, что [math] O(1) [/math] не влияет на дальнейшее рассмотрение, т.к. оно учитывается не более чем константное число раз, что не существенно в асимптотике алгоритма. Рассмотрим дерево рекурсии. Всего в нем будет [math]\log_b n[/math] уровней. На каждом таком уровне, количество подзадач будет умножаться на [math]a[/math], так на уровне [math]i[/math] будет [math]a^i[/math] подзадач. Также известно, что каждая подзадача на уровне [math]i[/math] размера [math]O\left(\dfrac{n}{b^i}\right)[/math]. Подзадача размера [math]O\left(\left(\dfrac{n}{b^i}\right)\right)[/math] требует [math]O\left(\left(\dfrac{n}{b^i}\right) ^ c\right)[/math] дополнительных затрат, поэтому общее количество совершенных операций на уровне [math]i[/math] :
[math] O\left(a^i\left(\dfrac{n}{b^i}\right)^c\right) = O\left(n^c\left(\dfrac{a^i}{b^{ic}}\right)\right) = O\left(n^c\left(\dfrac{a}{b^c}\right)^i\right)[/math]
Заметим, что количество операций увеличивается, уменьшается и остается константой, если [math]\left(\dfrac{a}{b^c}\right)^i[/math] увеличивается, уменьшается или остается константой соответственно.
Поэтому мы должны разобрать три случая, когда [math]\left(\dfrac{a}{b^c}\right)^i[/math] больше [math]1[/math], равен [math]1[/math] или меньше [math]1[/math]. Рассмотрим [math]\left(\dfrac{a}{b^c}\right)^i = 1\Leftrightarrow a = b^c \Leftrightarrow\ \log_b a = c \log_b b \Leftrightarrow\ \log_b a = c[/math].
Распишем всю работу в течение рекурсивного спуска:
[math] \cdot \displaystyle\sum_{i=1}^{\log_b n}n^c\left(\frac{a}{b^c}\right)^i = O\left(n^c\cdot\displaystyle\sum_{i=1}^{\log_b n}\left(\frac{a}{b^c}\right)^i\right)[/math]
Откуда получаем:
- [math]\log_b a \lt c [/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]T(n) = \Theta\left( n^{c} \right)[/math] (так как [math] \left(\dfrac{a}{b^c}\right)^i[/math] убывающая геометрическая прогрессия)
- [math]\log_b a = c [/math] [math]\Rightarrow[/math] [math] T(n) = \displaystyle\sum_{i=1}^{\log_b n}n^c\cdot\left(\frac{a}{b^c}\right)^i = [/math] [math] n^c\cdot\displaystyle\sum_{i=1}^{\log_b n}\left(\frac{a}{b^c}\right)^i = n^c\cdot\displaystyle\sum_{i=1}^{\log_b n}1^i = n^c + n^c\log_b n = \Theta\left( n^{c} \log n \right) [/math]
- [math]\log_b a \gt c [/math] [math]\Rightarrow[/math] [math] T(n) = \displaystyle\sum_{i=1}^{\log_b n}n^c\cdot\left(\frac{a}{b^c}\right)^i = n^c\cdot\displaystyle\sum_{i=1}^{\log_b n}\left(\dfrac{a}{b^c}\right)^i = n^c\cdot\left(\dfrac{a}{b^c}\right)^{\log_b n}[/math], но [math] n^c\cdot\left(\dfrac{a}{b^c}\right)^{\log_b n} [/math] [math] = [/math] [math] n^c\cdot\left(\dfrac{a^{\log_b n} }{(b^c)^{\log_b n}}\right) [/math] [math] = [/math] [math] n^c\cdot\left(\dfrac{n^{\log_b a}}{n^c}\right)[/math] [math] = [/math] [math] \Theta\left( n^{\log_b a} \right) [/math]
|
| [math]\triangleleft[/math] |
Пусть при решении поставленной задачи, существует алгоритм, который разбивает ее на [math] a [/math] подзадач,при этом [math]n[/math] — размер общей задачи, [math]\dfrac{n}{b}[/math] — размер каждой подзадачи, [math] n ^ {c} [/math] — стоимость работы, проделанной рекурсивными вызовами, который включает в себя стоимость деления проблемы и стоимость слияния решения подзадач и [math]d[/math] — начальная стоимость для данной задачи(при [math]n = 1[/math]).Тогда мастер-теорема позволяет найти асимптотическое решение рекурренты, возникшей в результате анализа асимптотики данной задачи.
Примеры
Примеры задач
Пример 1
Пусть задано такое рекуррентное соотношение:
[math] t(x) = \begin{cases}
3 \; t\!\left(\dfrac{x}{2}\right) + n\sqrt{n + 1} , & n \gt 1\\
1 , & n = 1
\end{cases}
[/math]
Рассмотрим [math] f(n) = n\sqrt{n+1} = \Theta(n^{3/2}) [/math] , тогда данное соотношение удовлетворяет случаю [math] c \lt \log_b a[/math], а именно [math] \dfrac{3}{2} \lt \log_2 3 [/math], тогда
асимптотикой является [math] \Theta(n ^ {\log_2 3}) [/math].
Пример 2
Задано такое соотношение:
[math]f(n) =[/math] [math]n\sqrt{n + 1}[/math]
[math] T(n) = \begin{cases}
2 \; T\!\left(\dfrac{n}{3}\right) + f(n) , & n \gt 1\\
d , & n = 1
\end{cases}
[/math]
[math]f(n) = n\sqrt {n + 1} \lt n\sqrt{n + n} \lt n\sqrt{2n} = O(n^{3/2}) [/math]
Данное соотношение подходит под первый случай [math]\left(a = 2, b = 3, c = \dfrac{3}{2}\right)[/math], поэтому его асимптотика совпадает с асимптотикой [math]f(n)[/math] (следуя из определения [math] \Theta [/math] и [math] O [/math]).
Недопустимые соотношения
Рассмотрим пару ошибочно-составленных соотношений:
- [math]T(n) = 2^nT\left (\dfrac{n}{2}\right )+n^n[/math]
- [math]a[/math] не является константой; количество подзадач может меняться
- [math]T(n) = 2T\left (\dfrac{n}{2}\right )+\frac{n}{\log n}[/math]
- рассмотрим [math] f(n) = \dfrac{n}{\log n} [/math] , тогда не существует такого полинома, что [math] \dfrac{n}{\log n} \in \Theta(n^c) [/math]
- [math]T(n) = 0.5T\left (\dfrac{n}{2}\right )+n[/math]
- [math]a \lt 1[/math] не может быть меньше одной подзадачи
- [math]T(n) = 64T\left (\dfrac{n}{8}\right )-n^2\log n[/math]
- [math]f(n)[/math] не положительна
Приложение к известным алгоритмам
| Алгоритм
|
Рекуррентное соотношение
|
Время работы
|
Комментарий
|
| Целочисленный двоичный поиск
|
[math]T(n) = T\left(\frac{n}{2}\right) + O(1)[/math]
|
[math]O(\log n)[/math]
|
По мастер-теореме [math]c = \log_b a[/math], где [math]a = 1, b = 2, c = 0[/math]
|
| Обход бинарного дерева
|
[math]T(n) = 2 T\left(\frac{n}{2}\right) + O(1)[/math]
|
[math]O(n)[/math]
|
По мастер-теореме [math]c \lt \log_b a[/math], где [math]a = 2, b = 2, c = 0[/math]
|
| Сортировка слиянием
|
[math]T(n) = 2 T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n)[/math]
|
[math]O(n \log n)[/math]
|
По мастер-теореме [math]c = \log_b a[/math], где [math]a = 2, b = 2, c = 1[/math]
|
См.также
Примечание
Источники информации
