Convex hull trick

Convex hull trick Постановка примера задачи: Есть n деревьев с высотами a1, a2, … an. Требуется спилить их все, потратив минимальное количество монет на заправку бензопилы. Но пила устроена так, что после уменьшения высоты спиливаемого дерева на 1 ее надо заправить. Причем стоимость заправки зависит от срубленных (полностью) деревьев. Если сейчас максимальный индекс срубленного дерева равен i, то цена заправки равна ci. Изначально пила заправлена. И известны следующие ограничения : c[n] = 0, a[1] = 1, a[i] возрастают, c[i] убывают. (Задача с codeforces.com)

Наивное решение : Понятно, что нужно затратив минимальную стоимость срубить последнее (n-е) дерево, т.к. после него все деревья можно будет пилить бесплатно (т.к. c[n] = 0). Посчитаем следующую динамику : dp[i] - минимальная стоимость, заплатив которую будет срублено дерево номер i. Тогда dp[i] = min(dp[j] + a[i] * c[j]) по всем j < i. То есть понятно, что выгодно рубить сначала более дорогие и низкие деревья, а потом более высокие и дешвые (док-во этого факта оставляется читателям как несложное упражнение). Тогда переберем j < i - индекс предыдущего срубленного дерева. Пусть мы его срубили отптимальным (в смысле денег) способом. Тогда просто a[i] раз уменьшим высоту дерева i на 1. Каждый такой раз будем платить c[j] за последующую заправку пилы. Итак, на сруб i-го дерева мы заплатили a[i]*c[j]. 
Нетрудно видеть, что такая динамика работает за O(n^2).

О-Оптимизация Давайте обозначим dp[j] за b[j], а[i] за x[i], а c[j] за k[j]. Теперь формула приняла вид dp[i] = min(k[j]*x[i] + b[j]) по всем j < i. Выражение k[j]*x + b[j] напоминает уравнение прямой y = kx + b. Сопоставим каждому j, обработанному ранее прямую y[j](x) = k[j]*x + b[j]. Из условия «c[i] убывают <=> k[j] уменьшаются с номером j» следует то, что прямые, полученные ранее отсортированы в порядке убывания углового коэффицента. Давайте нарисуем несколько таких прямых :

Итак, давайте выделим множество точек (x0, y0) , таких что все они принадлежат одной из прямых и при этом нету ни одной прямой y’(x), такой что y’(x0) < y0. Иными словами возьмем «выпуклую (вверх) оболочку» нашего множества прямых. На катинке множество точек выделено жирным оранжевым цветом и представляет собой выпуклую вверх функцию. Назовем ее «y = convex(x)»

(рисунок 1)

Для чего нам нужна эта выпуклая оболочка прямых?

Пусть мы считаем динамику для i-го дерева. Его задает x[i]. Итак, нам нужно для данного x[i] найти минимум по всем j k[j]*x[i] + b[i] = y[j](x[i]). Нетрудно видеть, что это есть convex(x[i]). Из монотонности угловых коэффицентов отрезков, задающих выпуклую оболочку, и их расположения по координаты x следует то, что отрезок, который пересекает прямую x = x[i], можно найти бинарным поиском. Это потребует O(logn) времени на поиск такого j, что dp[i] = k[j] * x[i] + b[j]. Теперь осталось научиться быстро поддерживать множество прямых и добавлять i-ю прямую после того, как мы посчитали b[i] = dp[i]. Название статьи подсказывает, что нужно воспользоваться алгоритмом построения выпуклой оболочки множества точек. Но (внезапно) у нас не точки, а прямые… Но что меняется??? Пусть есть 2 стека k[] и b[], которые задают прямые в отсортированном порядке. Пусть пришла новая прямая. Найдем точки пересечения (по x) с последними 2мя прямыми из стека. Назовем их xL и xR. Если оказалось, что новая прямая пересекает предпосл еднюю прямую выпуклой оболочки позже, чем последнюю (xL >= xR), то последнюю можно удалить из нашего множества. Так будем делать, пока либо кол-во прямых в стеке не станет равным 2 или xL не станет меньше xR. Ассимптотика : аналогично обычному алгоритму построения выпуклой оболочки, каждая прямая ровно 1 раз добавится в стек и максимум 1 раз удалится. Значит время работы перестройки выпуклой оболочки займет O(n) суммарно. Корректность : достаточно показать, что прямую нужно удалить из множества т.и т.т., когда она последнюю прямую множества наша новая прямая пересекает ее в точке с координатой по оси X, меньшей, чем предпоследнюю.

(рис. 2) (рис. 3)

Действительно, пусть новая прямая пересекает последнюю прямую множества позже, чем предпоследнюю (рис.2 - красная прямая новая, фиолетовая - предпоследняя, желтая - последняя), то найдется такой отрезок [x1;x2], что последняя(желтая) прямая при этих x-ах лежит ниже всех остальных и ее следует оставить в множестве.

Теперь пусть новая прямая пересекает последнюю прямую множества раньше, чем предпоследнюю (рис.1), последняя прямая при любых x лежит выше какой-то другой прямой множества и значит ее можно удалить, чтд.

Детали реализации: Будем хранить 2 массива (имитирующих стеки) : front[] и st[] - начало (по x) соответствующей прямой выпуклой оболочки и номер этой прямой (в глобальной нумерации). Также воспользуемся тем, что x[i] = a[i] возрастают (по условию задачи), а значит мы можем искать первое такое j, что x[i] >= front[j] не бинарным поиском, а методом 2х указателей за O(n) суммарно. Также массив front[] можно хранить в целых числах, округляя х-координаты в сторону лежащих правее по оси x.

Р.Реализация

st[0] = 0 from[0] = -∞ sz = 1 // текущий размер выпуклой оболочки pos = 0 // текущая позиция первго такого j, что x[i] >= front[st[j]] for i = 1..n-1 while (front[pos] < x[i]) ++pos

      	j = st[pos]
       	dp[i] = K[j] * a[i] + B[j]
       	if (i < n - 1)  // если у нас добавляется НЕ последняя прямая, 
          		K[i] = b[i]

B[i] = dp[i]

           	ll x = -inf
           	while (1)	
            		 j = st[sz - 1]
              		 x = divide(B[j] - B[i], K[i] - K[j])
            	 	  if (x > from[sz - 1]) break
              	 	--sz
          st[sz] = i
          from[sz++] = x
 

(Здесь функция divide(a, b) возвращает нужное округление a / b)

Такая реализация будет работать за O(n).

Динамический convex hull trick

Заметим, что условия на прямые, что k[i] возрастает/убывает и x[i] убывает/возрастает выглядят не достаточно общими. Как же быть, если в задаче таких ограничений нет. Иногда можно отсортировать прямые нужным образом, не испортив свойств задачи (пример : задача G отсюда http://neerc.ifmo.ru/school/camp-2016/problems/20160318a.pdf). Но рассмотрим общий случай. Наша задача поменялась следующим образом : по-прежнему у нас есть выпуклая оболочка, имея которую мы за O(logn) или быстрее можем найти dp[i], но теперь вставку i-й прямой в оболочку уже нельзя выполнить старым способом за O(1) (в среднем). У нас есть выпуклая оболочка, наша прямая пересекает ее, возможно, «отрезая» несколько отрезков выпуклой оболочки в середине (рис. 4).

Т.е. нужно уметь быстро (за O(logn)?) назодить, после какой прямой стоит пытаться вставить текущую (красную рис.4) примую и удалять лишние справа, начиная с нее, потом проводить аналогичные операции слева. Итак, давайте хранить std::set (или любой аналог в других языках) пар <k, st> = <коэффицент прямой, ее номер в глобальной нумерации>. Когда приходит новая прямая, делаем lower_bound - 1 в сете, т.е. ищем ближайшую прямую с меньшим углом наклона, и начиная с нее повторяем старый алгоритм (удаляем, пока прямая бесполезная). И симметричный алгоритм применяем ко всем прямым справа от нашей. Ассимптотика решения составит O(logn) на каждый из n запросов «добавить прямую» + O(n) суммарно на удаление прямых. Итго O(nlogn).

Альтернативный подход Другой способ интерпретировать выражение dp[i] = max(dp[j] + a[i] * c[j]) по всем их заключается в следующем: давайте перепишем выражение dp[j] + a[i] * c[j] = (dp[j], c[j]) * (1, a[i]), т.е. запишем ка скалярное произведение векторов v[j] = (dp[j], c[j]) и u[i] = (1, a[i]). Вектора v[j] = (dp[j], c[j]) хотелось бы организовать так, чтобы за O(logn) находить максимизирующий выражение v[j] * u[i]. Посмотрим на рис. 5. Заметим довольно очевидный факт : красная точка(вектор) j не может давать более оптимальное значение v[j] * u[i] одновременно чем обе синие точки, т.к. v[j] * u[i] - это на самом деле проекция вектора v[j] на u[i]. По этой причине нам достаточно оставить выпуклую оболочку векторов v[j], а ответ на запрос - это поиск v[j], максимизирующего проекцию на u[i]. Это задача поиска ближайшей точки выпуклого многоугольника (составленного из точек выпуклой оболочки) к заданной прямой (из (0, 0) в (1, a[i])). Ее можно решить за O(logn) двумя бинарными или одним тернарным поиском

Ассимптотика алгоритма по-прежнему составит O(nlogn)