Аффинное пространство
Неформальное введение
Аффинное пространство можно воспринимать как векторное пространство, в котором потеряли начальную точку.
Представим, что Алиса знает настоящую начальную точку, а Боб думает, что начальная точка это
. Есть какие-то два вектора и , и Алиса с Бобом их складывают. Алиса, опираяющаяся на настоящую начальную точку, получит , а Боб, откладывая те же вектора от точки , получит , понятно, что результаты будут разные.Точно так же они могут вычислять линейные комбинации этих векторов, и, как правило, получать разные результаты. Однако, если сумма коэффициентов линейной комбинации будет равна
, то результаты будут получаться одинаковые. Алиса будет получать получать , и Боб будет точно так же получать .У Боба с Алисой есть знание об "аффинной структуре" пространства, то есть значения аффинных комбинаций, определённых как линейные комбинации в которых сумма коэффициентов равна
. Пространство с аффинной структурой и есть аффинное пространство.Определение
Определение: |
Аффинное пространство – это множество | , ассоциированное с векторным пространством над полем и свободным действием аддитивной группы .
Элементы аффинного пространства называются точками, элементы векторного пространства – векторами.
Другим языком, данное определение говорит, что существует отображение
, обладающее следующими свойствами:- ;
- ;
- Для всех из отображение биективно (и для всех из тоже биективно).
Последнее свойство позволяет определить вычитание двух элементов из
. Пусть , тогда или это такой вектор из , что . Таким образом определённое вычитание обладает следующими свойствами:- ;
- .
Базисы
Определение: |
Набор векторов | называется линейно независимым (ЛНЗ), если его линейная комбинация равна нулю только в том случае, если она тривиальная, то есть .
Определение: |
Векторное пространство называется | -мерным, если в нём существует набор из линейно независимых векторов, и не существует набора из линейно независимого вектора.
Единственность
Утверждение: |
В -мерном пространстве любой вектор единственным образом раскладывается в базисе из линейно независимых векторов как . |
Если мы добавим в базис вектор , то он обязательно станет линейно зависимым, и, значит, найдутся такие и , что, и, значит, разложение существует. Теперь пусть есть два разложения и . Тогда, однако такое может быть только в том случае, если линейная комбинация тривиальная, то есть разложение единственно. |
Матрица перехода
Мы можем переходить из одного базиса в другой. Пусть у нас есть базисы
и .