Линейность
| Утверждение: |
Математическое ожидание [math]E(\xi)[/math] линейно, где [math]\xi[/math] - случайная величина |
| [math]\triangleright[/math] |
|
1. [math]E(\xi+\eta)={\sum_w \limits}(\xi(w)+\eta(w))p(w)={\sum_w \limits}\xi(w)p(w)+{\sum_w \limits}\eta(w)p(w)=E(\xi)+E(\eta) [/math]
2. [math]E(\alpha\xi)={\sum_w \limits}\alpha\xi(w)=\alpha{\sum_w \limits}\xi(w)=\alpha E(\xi)[/math],где [math]\alpha[/math]-действительное число |
| [math]\triangleleft[/math] |
Использование линейности
Рассмотрим две задачи
Задача 1
У нас есть строка s. Строка t генерируется случайным образом таким образом что два подряд идущих символа неравны. Какое математическое ожидание количества совпавших символов?Считать что размер алфавита равен [math]k[/math], а длина строки [math]n[/math].
Рассмотрим случайные величины [math]\xi^i[/math] - совпал ли у строк символ [math] i \lt tex\gt .
Найдем математическое ожидание этой величины
\lt tex\gt E(\xi^i)=0*p(\xi^i=0)+1*p(\xi^i=1)=p(s[i]=t[i])[/math] где [math]s[i],t[i][/math]-[math]i[/math] ые символы соответствующих строк.
Так как все символы равносильные то [math]p(s[i]=t[i])=\frac{1}{k}[/math].
Итоговый результат:[math]E(\xi)={\sum_{i=1}^n \limits}E(\xi^i)=\frac{n}{k} [/math]
Задача 2
Найти математическое ожидание суммы цифр на случайной кости домино.
Пусть [math] \xi [/math]-случайная величина которая возвращает первое число на кости домино, а [math] \eta [/math]-возвращает второе число.
Очевидно то что [math] E(\xi)= E(\eta)[/math].
Посчитаем [math]E(\xi)[/math].
[math] E(\xi)={\sum_{i=0}^6 \limits}i*p(\xi=i)={\sum_{i=0}^6 \limits}i*\frac{1}{7}=3[/math]
Получаем ответ
[math]E(\xi+\eta)=2*E(\xi)=6[/math]
