Асимптотика гипергеометрических последовательностей

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Пусть у нас есть последовательность, отношение соседних членов которой равно отношению двух многочленов одинаковой степени. Если же степени многочленов больше нуля, то соответствующую последовательность называют гипергеометрической.


Вычисление асимптотики

Лемма:
Пусть последовательность a0,a1, положительных чисел такова, что an+1an=Ank+α1nk1++αknk+β1nk1++βk для всех достаточно больших n, причем α1β1. Тогда an растет как ancAnnα1β1 для некоторой постоянной c>0.
Доказательство:

Утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел limnanAnnα1β1.
Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела limnlnannlnA(α1β1)lnn.

Для доказательства существования предела применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна[1]. Фундаментальность последовательности означает, что для любого ε>0 существует такой номер N, что для всех n>N и всех положительных m

|lnan+mlnan(n+m)lnA+nlnA(α1β1)ln(n+m)+(α1β1)lnn|<ε

или

|lnan+mlnanmlnA(α1β1)ln(n+m)+(α1β1)lnn|<ε()

Перепишем отношение an+1an в виде

an+1an=A1+α1n1++αknk1+β1n1++βknk=Af(1n),

где

f(x)=1+α1x++αkxk1+β1x++βkxk

Прологарифмировав отношение an+1an, получаем

lnan+1lnan=lnA+lnf(1n).

Посмотрим на функцию lnf(x). Выпишем начальные члены разложения функции f в ряд в точке 0:

f(x)=1+(α1β1)x+γx2+ для некоторой константы γ. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент α1β1(отличный от нуля по предположению леммы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя nα1β1 в асимптотике. Для логарифма функции f имеем

lnf(x)=(α1β1)x+˜γx2+

Поэтому для некоторой постоянной C при достаточно маленьком x имеем |lnf(x)=(α1β1)x|<Cx2. В частности, если N достаточно велико, то n>N

|lnan+1lnanlnA(α1β1)1n|<C1n2,

|lnan+2lnan+1lnA(α1β1)1n+1|<C1(n+1)2,

|lnan+mlnan+m1lnA(α1β1)1n+m|<C1(n+m)2.

Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства () можно оценить с помощью системы и неравенства треугольника[2]:

|lnan+mlnanmlnA(α1β1)(ln(n+m)lnn)|=

=|lnan+mlnan+m1+lnan+m1+lnan+1lnanmlnA

(α1β1)m1k=01n+k+(α1β1)m1k=01n+k(α1β1)(ln(n+m)lnn)|

|lnan+1lnanlnA(α1β1)1n|+|lnan+2lnan+1lnA(α1β1)1n+1|+

+|lnan+mlnan+m1lnA(α1β1)1n+m|+|α1β1||m1k=01n+kln(n+m)+lnn|

C(1n2+1(n+1)2++1(n+m1)2)+|α1β1||m1k=01n+kln(n+m)+lnn|.

Поскольку ряд k=11k2 сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших n можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции 1[x] на отрезке [n,n+m],

График функции y=1[x] на отрезке [n,n+m]


(Здесь через [x] обозначена целая часть числа x, наибольшее целое число, не превосходящее x.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции y=1x, но меньше, чем площадь под графиком функции y=1x1 на этом же отрезке. Площадь под графиком функции y=1x1 равна ln(n+m1)ln(n1). Таким образом, интересующая нас разность не превосходит |(ln(n+m1)ln(n1))(ln(n+m)+lnn)|=|ln(11n+m)ln(11n)|<|ln(11n)|<C1n.

Замечание: Предположения леммы не позволяют определить величину константы c. Действительно, умножив последовательность an на произвольную постоянную d>0, мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа c для которой увеличивается в d раз

Примеры

Пример. Для чисел Каталана имеем

cn+1cn=4n+2n+2=4n+12n+2

Поэтому cnc4nn32 для некоторой постоянной c.

Пример. Найдем асимптотику коэффициентов для функции (as)α, где α вещественно. В ряде случаев эта асимптотика нам уже известна, например, при α=1. Согласно определению функции (1s)α имеем

(as)α=aα(1sa)α=aα(1α1!sa+α(α1)2!(sa)2α(α1)(α2)3!(sa)3+).

Если α — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае начиная с некоторого номера все коэффициенты ряда имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться леммой при an=(1)nα(α1)(αn+1)n!αn

an+1an=1anαn+1

Поэтому ancannα1. Например, коэффициенты функции (14s)12 ведут себя как c4nn32, и мы получаем повторный вывод ассимптотики для чисел Каталана.

См. также

Примечания

Источники информации