Асимптотика гипергеометрических последовательностей

Определение:

Пусть у нас есть последовательность, отношение соседних членов которой равно отношению двух многочленов одинаковой степени. Если же степени многочленов больше нуля, то соответствующую последовательность называют гипергеометрической.

Вычисление асимптотики

Лемма:

Пусть последовательность $a_0, a_1, \cdots$ положительных чисел такова, что $\frac{a_{n+1}}{a_n}=A\frac{n^k+\alpha_1 n^{k-1}+ \cdots +\alpha_k}{n^k+\beta_1 n^{k-1}+ \cdots +\beta_k}$ для всех достаточно больших $n$, причем $\alpha_1 \ne \beta_1$. Тогда $a_n$ растет как $a_n \sim cA^n n^{\alpha_1-\beta_1}$ для некоторой постоянной $c\gt 0$.

Доказательство:

$\triangleright$

Утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел $\lim_{n \to \infty} {\frac{a_n}{A^n n^{\alpha_1-\beta_1}}}$. Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела $\lim_{n \to \infty} { \ln {a_n} - n \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln n }$. Для доказательства существования предела применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна. Фундаментальность последовательности означает, что для любого $ε \gt 0$ существует такой номер $N$, что для всех $n \gt N$ и всех положительных $m$ $|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - (n+m) \ln A + n \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln(n+m)+(\alpha_1-\beta_1)\ln n| \lt ε$ или $|\ln {a_{n+m}} - \ln {a_n} - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \ln {(n+m)} + (\alpha_1-\beta_1) \ln n| \lt ε (*)$ Перепишем отношение $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ в виде $\frac{a_{n+1}}{a_n}=A\frac{1+\alpha_1 n^{-1} + \cdots + \alpha_k n^{-k}}{1+\beta_1 n^{-1} + \cdots + \beta_k n^{-k}}=Af(\frac{1}{n})$, где $f(x)=\frac{1+\alpha_1 x + \cdots + \alpha_k x^k}{1+\beta_1 x + \cdots + \beta_k x^k}$ Прологарифмировав отношение $\frac{a_{n+1}}{a_n}$, получаем $\ln a_{n+1} - \ln a_n = \ln A + \ln f(\frac{1}{n})$. Посмотрим на функцию $\ln f(x)$. Выпишем начальные члены разложения функции $f$ в ряд в точке $0$: $f(x)=1 + (\alpha_1 - \beta_1)x + \gamma x^2 + \cdots$ для некоторой константы $\gamma$. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент $\alpha_1 - \beta_1$(отличный от нуля по предположению леммы) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя $n^{\alpha_1-\beta_1}$ в асимптотике. Для логарифма функции $f$ имеем $\ln f(x)=(\alpha_1-\beta_1)x+\tilde{\gamma}x^2 + \cdots$ Поэтому для некоторой постоянной $C$ при достаточно маленьком $x$ имеем $|\ln f(x) = (\alpha_1 - \beta_1)x|\lt Cx^2$. В частности, если $N$ достаточно велико, то $∀ n\gt N$ $|\ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n}|\lt C \frac{1}{n^2}$, $|\ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+1}|\lt C \frac{1}{(n+1)^2}$, $\cdots$ $|\ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}|\lt C \frac{1}{(n+m)^2}$. Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства $(*)$ можно оценить с помощью системы и неравенства треугольника: $| \ln a_{n+m} - \ln a_n - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)( \ln {(n+m)} - \ln n)| =$ $= | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - \cdots + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \ln A -$ $- (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1)(\ln {(n+m)} - \ln n)| \le$ $\le | \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n} | + | \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+1}| +$ $\cdots$ $+ | \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}| + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n | \le$ $\le C(\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \cdots + \frac{1}{(n+m-1)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n |$. Поскольку ряд $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших $n$ можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции $\frac{1}{[x]}$ на отрезке $[n, n+m]$, График функции $y = \frac{1}{[x]}$ на отрезке $[n, n + m]$ (Здесь через $[x]$ обозначена целая часть числа $x$, наибольшее целое число, не превосходящее $x$.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции $y = \frac{1}{x}$, но меньше, чем площадь под графиком функции $y = \frac{1}{x-1}$ на этом же отрезке. Площадь под графиком функции $y = \frac{1}{x-1}$ равна $\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}$. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит $|(\ln {(n+m-1)} - \ln {(n-1)}) - (- \ln {(n+m)} + \ln n)| = | \ln {(1 - \frac{1}{n+m})} - \ln {(1 - \frac{1}{n})}| \lt |\ln {(1 - \frac{1}{n})}| \lt C \frac{1}{n}$.

$\triangleleft$

Замечание: Предположения леммы не позволяют определить величину константы $c$. Действительно, умножив последовательность $a_n$ на произвольную постоянную $d \gt 0$, мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа $c$ для которой увеличивается в $d$ раз

Примеры

Пример. Для чисел Каталана имеем

$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{4n+2}{n+2}=4\frac{n+\frac{1}{2}}{n+2}$

Поэтому $c_n \sim c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}$ для некоторой постоянной $c$.

Пример. Найдем асимптотику коэффициентов для функции $(a-s)^{\alpha}$, где $\alpha$ вещественно. В ряде случаев эта асимптотика нам уже известна, например, при $\alpha=−1$. Согласно определению функции $(1-s)^{\alpha}$ имеем

$(a-s)^{\alpha}=a^{\alpha}(1-\frac{s}{a})^{\alpha}=a^{\alpha}(1 - \frac{\alpha}{1!} \frac{s}{a} + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}{(\frac{s}{a})^2} - \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}(\frac{s}{a})^3 + \cdots)$.

Если $\alpha$ — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае начиная с некоторого номера все коэффициенты ряда имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться леммой при $a_n=(-1)^n \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots (\alpha-n+1)}{n!{\alpha}^n}$

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{a} \frac{n-\alpha}{n+1}$

Поэтому $a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}$. Например, коэффициенты функции $-(1-4s)^{\frac{1}{2}}$ ведут себя как $c \cdot 4^n \cdot n^{-\frac{3}{2}}$, и мы получаем повторный вывод ассимптотики для чисел Каталана.

См. также

• Производящая функция

Источники информации

• Ландо С.А., Лекции о производящих функциях, 2007 год