Двоичная куча

Эта статья находится в разработке!

Определение:

Двоичная куча или пирамида — такое двоичное дерево, для которого выполнены три условия: Значение (ключ) в любой вершине не меньше, чем значения её потомков. Каждый лист имеет глубину (расстояние до корня) либо [math]d[/math] либо [math]d-1[/math]. Иными словами, если назвать слоем совокупность вершин, находящихся на определённой глубине, то все слои, кроме, быть может, последнего, заполнены полностью. Последний слой заполняется слева направо.

Удобная структура данных для сортирующего дерева — массив [math]A[/math], у которого первый элемент, [math]A[1][/math] — элемент в корне, а потомками элемента [math]A[i][/math] являются [math]A[2i][/math] и [math]A[2i+1][/math]. Высота кучи определяется как высота двоичного дерева. То есть она равна количеству рёбер в самом длинном простом пути, соединяющем корень кучи с одним из её листьев. Высота кучи есть [math]O(logN)[/math], где [math]N[/math] — количество узлов дерева.

Базовые процедуры

Восстановление свойств кучи

Если в куче изменяется один из элементов, то она может перестать удовлетворять свойству упорядоченности. Для восстановления этого свойства служит процедура Shift_Down(просеивание вниз). Она восстанавливает свойство кучи в дереве, у которого левое и правое поддеревья удовлетворяют ему. Эта процедура принимает на вход массив элементов [math]A[/math] и индекс [math]i[/math]. Она восстанавливает свойство упорядоченности во всём поддереве, корнем которого является элемент [math]A[i][/math]. Если [math]i[/math]-й элемент больше, чем его сыновья, всё поддерево уже является кучей, и делать ничего не надо. В противном случае меняем местами [math]i[/math]-й элемент с наибольшим из его сыновей, после чего выполняем Shift_Down для этого сына. Процедура выполняется за время [math]O(logN)[/math].

Shift_Down(i)

 left = 2 * i // левый сын
 right = 2 * i + 1 // правый сын
 // heap_size - количество элементов в куче
 If (left ≤ A.heap_size) and (A[left] < A[i])  
   min = left
 else
   min = i
 If (right ≤ A.heap_size) and (A[right] < A[i])  
   min = right
 else
   min = i
 If (min <> i) 
   Обменять A[i] и A[largest]
   Shift_Down(A, min)

Изменение значения элемента

После изменения [math]i[/math]-ого элемента вызывается функция Shift_Up, которая просеивает

Извлечение минимального элемента

Выполняет извлечение минимального элемента из кучи за время [math]O(logN)[/math]. Извлечение выполняется в четыре этапа:

1. Значение корневого элемента (он и является минимальным) сохраняется для последующего возврата.
2. Последний элемент копируется в корень, после чего удаляется из кучи.
3. Вызывается Shift_Down для корня.
4. Сохранённый элемент возвращается.

extract_min()

 min = A[1]
 A[1] = A[A.heap_size]
 A.heap_size = A.heap_size - 1
 Shift_Down(A, 1)
 return min

Добавление нового элемента

Элемент добавляется в конец кучи