Определения
| Определение: |
| Множество — первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством. |
| Определение: |
| Объекты, из которых состоит множество, называют элементами этого множества. Если [math]a[/math] — элемент множества [math]A[/math], то записывают [math]a \in A[/math] («[math]a[/math] принадлежит [math]A[/math]»). Если [math]a[/math] не является элементом множества [math]A[/math], то записывают [math]a \notin A[/math] («[math]a[/math] не принадлежит [math]A[/math]»). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов. |
Способы задания множеств
Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.
Перечисление
Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество.
[math] A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} [/math]
Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств.
Описание
Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов.
[math] A = \{a: P\} [/math] , где [math]P[/math] — определенное свойство элемента [math]a[/math].
Отношения между множествами
Два множества [math]A[/math] и [math]B[/math] могут вступать друг с другом в различные отношения.
- [math]A[/math] включено в [math]B[/math], если каждый элемент множества [math]A[/math] принадлежит также и множеству [math]B[/math] :
- [math]\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon \ a\in B[/math]
- [math]A[/math] включает [math]B[/math], если [math]B[/math] включено в [math]A[/math]:
- [math]{\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}[/math]
- [math]A[/math] равно [math]B[/math], если [math]A[/math] и [math]B[/math] включены друг в друга:
- [math]{\displaystyle A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (B\subseteq A)}[/math]
- [math]A[/math] строго включено в [math]B[/math], если [math]A[/math] включено в [math]B[/math], но не равно ему:
- [math]{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}[/math]
- [math]A[/math] и [math]B[/math] не пересекаются, если у них нет общих элементов:
- [math]A[/math] и [math]B[/math] не пересекаются [math]{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}[/math]
Операции над множествами
Бинарные операции над множествами
- Пересечение [math]A[/math] и [math]B[/math].
- [math]{\displaystyle A\cap B =\{x\mid x\in A\land x\in B\}}[/math]
- Объединение [math]A[/math] и [math]B[/math].
- [math]{\displaystyle A\cup B =\{x\mid x\in A\lor x\in B\}}[/math]
- Разность [math]A[/math] и [math]B[/math].
- [math]{\displaystyle A\setminus B =A\cap {\overline {B}}=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}}[/math]
- Симметрическая разность [math]A[/math] и [math]B[/math].
- [math] {\displaystyle A \bigtriangleup B \equiv A - B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) }[/math]
Унарные операции над множествами
- Дополнение определяется следующим образом:
- [math]{\displaystyle {{\overline {A}}\equiv A^{\complement }=\{x\mid x\notin A\}}=U\setminus A}[/math].
Теорема де Моргана
| Теорема (де Моргана): |
[math]\displaystyle {\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\
\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha}} [/math] |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично.
Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств).
Сначала докажем, что [math] \ \displaystyle \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}[/math].
Пусть [math]x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )[/math]. Значит, [math]\nexists \ \alpha_i[/math] такого, что [math]x \in A_{\alpha_i}[/math]. Следовательно, [math]\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha} \Rightarrow x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )[/math].
В силу выбора [math]x[/math] (любой элемент множества [math]\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}[/math]) следует искомое включение.
Теперь докажем, что [math] \ \displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}[/math]
Пусть [math]x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )[/math]. Тогда [math]\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha} \Rightarrow x \notin A_\alpha[/math]. Поскольку [math]x[/math] не входит ни в одно объединяемое множество, то [math]x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha \Rightarrow x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}[/math]
Аналогично, в силу выбора [math]x[/math] выполняется искомое включение. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства
- [math](A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \Rightarrow (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)[/math]
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.
