Материал из Викиконспекты
Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие уравнения и решения. Поле направлений. Задача Коши. Теорема Пикара. Общее, частное и особое решения
[1]
Методы интегрирования уравнений первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородное уравнение и уравнения, приводящиеся к однородным
Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия и определения. Задача Коши. Теорема Пикара. Понижение порядка уравнения. Уравнения, не содержащие искомой функции и последовательных первых производных. Уравнения, не содержащие независимой переменной.
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Свойства решений линейного однородного уравнения. Фундаментальная система решений и определитель Вронского. Признак линейной независимости решений. Формула Остроградского-Лиувилля.
Построение общего решения линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений. Структура общего решения неоднородного уравнения. Принцип наложения. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) для уравнения 2-го порядка. Случай уравнения n-го порядка.
Системы дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения. Нормальная система. Задача Коши. Механическое истолкование нормальной системы и ее решения. Теорема Пикара. Связь между уравнениями высшего порядка и системами дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Линейные системы. Свойства линейных систем. Фундаментальная матрица. Определитель Вронского. Критерий линейной независимости вектор-функций. Формула Остроградского-Лиувилля.
Построение общего решения линейной однородной системы по фундаментальной системе решений. Интегрирование линейной однородной системы с постоянными коэффициентами методом Эйлера.
Структура общего решения неоднородной линейной системы. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Матричный метод интегрирования линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Фундаментальная матрица. Структура фундаментальной матрицы.
Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка. Функция Грина краевой задачи Дирихле. Построение функции Грина. Задача Штурма-Лиувилля.
Элементы теории устойчивости. Основные понятия и определения. Устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения возмущенного движения. Устойчивость нулевого решения.
Устойчивость системы линейных дифференциальных уравнений. Критерий устойчивости. Устойчивость систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Теорема Рауса-Гурвица.
Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Теоремы Ляпунова и Четаева о неустойчивости.
Особые точки на фазовой плоскости. Фазовый портрет системы. Случай однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Первый интеграл системы. Теорема о локальном существовании первых интегралов. Понятие порядка системы обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи первых интегралов. Симметричная форма записи нормальной автономной системы дифференциальных уравнений. Система нелинейных дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения первого порядка с частными производными. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Уравнения характеристик. Задача Коши. Квазилинейное дифференциальное уравнение.
