Представление чисел с плавающей точкой
Эта статья находится в разработке!
Плавающая точка
| Определение: |
| Плавающая точка (floating point) - метод представления действительных чисел, при котором число хранится в виде мантиссы и показателя степени. |
Представление чисел с плавающей точкой рассмотрим на примере чисел двойной точности (double precision). Такие числа занимают в памяти два машинных слова (8 байт на 32-битных системах). Наиболее распространенное представление описано в стандарте IEEE 754.
Числа двойной точности
Число с плавающей точкой хранится в нормализованной форме и состоит из трех частей (в скобках указано количество бит, отводимых на каждую секцию в формате double):
- знак (1)
- экспонента (показатель степени) (11)
- мантисса (52)
В качестве базы (основания степени) используется число 2.
TODO: Вставить картинку, когда можно будет загрузить файл
| Определение: |
| Нормализованной называется форма представления числа, при которой мантисса двоичного числа лежит в диапазоне . |
| Утверждение: |
Итоговое значение числа вычисляется по формуле:
|
Свойства чисел с плавающей точкой
- В нормализованном виде любое отличное от нуля число представимо в единственном виде. Недостатком такой записи является тот факт, что невозможно представить число 0.
- Так как старший бит двоичного числа, записанного в нормализованной форме, всегда равен 1, его можно опустить. Это используется в стандарте IEEE 754.
- В отличие от целочисленных стандартов (например, integer), имеющих равномерное распределение на всем множестве значений, числа с плавающей точкой (double, например) имеют квазиравномерное распределение.
TODO: Вставить картинки, когда можно будет загрузить файл
- В следствие свойства 3, числа с плавающей точкой имеют постоянную относительную погрешность (в отличие от целочисленных, которые имеют постоянную абсолютную погрешность).
- Очевидно, не все действительные числа возможно представить в виде числа с плавающей точкой.
- Точно в таком формате представимы только числа, являющиеся суммой некоторых обратных степеней двойки (не ниже -53). Остальные числа попадают в некоторый диапазон и округляются до ближайшей его границы. Таким образом, абсолютная погрешность составляет половину величины младшего бита.
Машинная эпсилон
| Определение: |
| Машинная эпсилон - наименьшее положительное число , такое что, , где - машинное сложение. |
| Утверждение: |
Таким образом, компьютер не различает числа и , если . |
| Утверждение: |
Из свойств чисел двойной точности следует, что для них . |
