Устранение левой рекурсии

Определение:

Говорят, что контекстно-свободная(к.с.) грамматика [math]\Gamma[/math] содержит непосредственную левую рекурсию, если она содержит правило вида [math]A \rightarrow A\alpha[/math].

Определение:

Говорят, что к.с. грамматика [math]\Gamma[/math] содержит левую рекурсию, если в ней существует вывод вида [math]A \Rightarrow^* A\alpha[/math].

Алгоритм устранения левой рекурсии

Приведем алгоритм, позволяющий для к.с. грамматики без [math] \varepsilon [/math]-правил построить эквивалентную ей к.с. грамматику (без [math] \varepsilon [/math]-правил), не содержащую левой рекурсии.

Для произвольной грамматики [math]\Gamma[/math] левую рекурсию можно устранить следующим образом:

1. Воспользоваться алгоритмом удаления [math] \varepsilon [/math]-правил. Получим грамматику без [math] \varepsilon [/math]-правил для языка [math]L(\Gamma) \setminus \lbrace \epsilon \rbrace[/math]
2. Воспользоваться алгоритмом устранения левой рекурсии
3. Если [math]\epsilon[/math] присутствовал в языке исходной грамматики, добавить новый начальный символ [math]S'[/math] и правила [math]S' \rightarrow S \, | \, \epsilon [/math]

Устранение непосредственной левой рекурсии

Опишем процедуру, устраняющую все правила вида [math]A \rightarrow A\alpha[/math] для фиксированного нетерминала [math]A[/math].

1. Запишем все правила вывода из [math]A[/math] в виде [math]A \rightarrow A\alpha_1\,|\,\ldots\,|\,A\alpha_n\,|\,\beta_1\,|\,\ldots\,|\,\beta_m [/math], где
   • [math]\alpha[/math] - непустая последовательность терминалов и нетерминалов ([math]\alpha \ne \epsilon [/math])
   • [math]\beta[/math] - непустая последовательность терминалов и нетерминалов, не начинающаяся с [math]A[/math].
2. Заменим правила вывода из [math]A[/math] на: [math]A \rightarrow \beta_1A^\prime\, |\, \ldots\, |\, \beta_mA^\prime \,|\, \beta_1 \,|\, \ldots \,|\, \beta_m[/math]
3. И создадим новый нетерминал [math]A^\prime \rightarrow \alpha_1A^\prime\, |\, \ldots\, |\, \alpha_nA^\prime | \alpha_1\, |\, \ldots\, |\, \alpha_n[/math]

Устранение произвольной левой рекурсии

Пусть множество всех нетерминалов [math]N = \lbrace A_1, A_2, \ldots , A_n \rbrace[/math]

for i = 1 to n {
  for j = 1 to i – 1 {
    рассмотреть все правила вывода из [math]A_j[/math]: [math]A_j \rightarrow \delta_1 | \ldots | \delta_k[/math]
    заменить каждое правило [math]A_i \rightarrow A_j \gamma[/math] на [math]A_i \rightarrow \delta_1\gamma | \ldots | \delta_k\gamma[/math]
  }
  устранить непосредственную левую рекурсию для [math]A_i[/math]
}

Инвариант: после [math]j[/math] итераций внутреннего цикла для [math]i[/math]

• для [math]k \lt i[/math] правые части правил вывода из [math]A_k[/math] не начинаются с [math]A_1, A_2, \ldots , A_k[/math]
• правые части правил вывода из [math]A_i[/math] не начинаются с [math]A_1, A_2, \ldots , A_j[/math]
• правые части правил вывода не начинаются с добавленных алгоритмом нетерминалов [math]A_k ^{\prime}[/math]
• грамматика не содержит ε-правил

(проверяется индукцией по парам [math](i,j)[/math])

Таким образом, после применения алгоритма все правила вывода имеют вид

• [math]A \rightarrow c \alpha [/math], где [math]c[/math] - терминал, [math]A[/math] - произвольный нетерминал
• [math]A_i \rightarrow A_j \alpha [/math], где [math]i \lt j[/math], [math]A_i , A_j[/math] - нетерминалы из исходной грамматики
• [math]A_i^{\prime} \rightarrow A_j \alpha [/math], где [math]A_i^{\prime}[/math] - новый нетерминал, [math]A_j[/math] - нетерминал из исходной грамматики

Если теперь перенумеровать нетерминалы, сохранив порядок для старых и присвоив всем новым меньшие номера, то все правила будут иметь вид

• [math]B_i \rightarrow c \alpha [/math], где [math]c[/math] - терминал
• [math]B_i \rightarrow B_j \alpha [/math], где [math]i \lt j[/math]

Литература

• Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. — Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)