NP-полнота задачи о гамильтоновом пути в графе
Определения
Определение 1
Гамильтоновым путем в графе
называется упорядочение всех узлов , , ..., , при котором для каждого существует ребро из в .Ориентированным гамильтоновым путем называется то же самое для ориентированного графа (должна существовать дуга из
в ).Определение 2
Гамильтоновым циклом в графе
называется упорядочение всех узлов , , ..., , при котором для каждого существует ребро из в , а также существует ребро из в .Ориентированным гамильтоновым циклом называется то же самое для ориентированного графа (должна существовать дуга из
в и дуга из в ).Формулировка задачи о гамильтоновом пути в графе
В задаче об (ориентированном) гамильтоновом пути в графе ([U]HAMP) в качестве входных данных выступает (ориентированный) граф
. Требуется выяснить, есть ли в заданном (ориентированном) графе (ориентированный) гамильтонов путь.Доказательство NP-полноты задачи об ориентированном гамильтоновом пути в графе (HAMP)
Для доказательства того, что HAMP NPC, необходимо доказать два факта:
Доказательство принадлежности к NP
В качестве сертификата возьмем ориентированный гамильтонов путь в графе
. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.Доказательство принадлежности к NPH
Сведем задачу об ориентированном гамильтоновом цикле (HAM) к HAMP. Пусть дан граф
. Выберем произвольную вершину графа и раздвоим ее, и входящие дуги направим в одну из полученных вершин, а исходящие пустим из другой. Теперь, если в исходном графе был ориентированный гамильтонов цикл, то в полученном будет ориентированный гамильтонов путь. В обратную сторону, если в полученном графе будет ориентированный гамильтонов путь, то на первом и последнем местах в этом пути окажутся новые вершины, соответствующие раздвоенной, поскольку ни одна из них не может оказаться в середине пути (у неё есть либо входящие, либо исходящие дуги). Таким образом, если в полученном графе будет гамильтонов путь, то в исходном графе был гамильтонов цикл.Доказательство NP-полноты задачи об гамильтоновом пути в графе (UHAMP)
Для доказательства того, что UHAMP NPC, необходимо доказать два факта:
Доказательство принадлежности к NP
В качестве сертификата возьмем гамильтонов путь в графе
. Очевидно, он удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на сертификат. Проверяющая функция строится очевидным образом, работает за полиномиальное от размера входа время.